Устойчивость линейных стационарных систем

Лекция10. Устойчивость линейных стационарных систем

Теория устойчивости динамических систем развивалась в рамках математики и механики еще до возникновения самостоятельной науки об управлении. Важные результаты в этой области принадлежат русскому математику А.И. Ляпунову. Формулировка понятия устойчивости по Ляпунову основана на понятиях возмущенного и невозмущенного движения системы, которые рассматриваются в двух вариантах: для переменных состояния системы и в отклонениях.

В первом случае (рисунок 83) рассматриваются законы изменения переменных состояния системы в установившемся процессе, в частном случае их значения в состоянии равновесия, , i=1,2,…,n, - по Ляпунову это невозмущенное движение. Возмущенное движение y_i(t), i=1,2,…,n,  – это законы изменения переменных состояния системы в переходном процессе, то есть свободное движение системы после начального отклонения, вызванного любыми причинами.

Во втором случае возмущенное движение вводится как отклонение . При такой трактовке невозмущенное движение имеет вид . Такая трактовка более удобна для анализа процессов в системе.

Невозмущенное движение системы (установившийся процесс)  называется устойчивым, если при заданном сколь угодно малом e>0 существует такое d=d(e)>0, что при начальных условиях , i=1,2,…,n существует такое t₁>t₀, что при t₁<t<∞ выполняется условие , i=1,2,…,n, то есть возмущенное движение ограничено.

Если условия определения устойчивости по Ляпунову выполняются, и , то соответствующее невозмущенное движение  называется асимптотически устойчивым.

Для линейных стационарных систем под устойчивостью понимают именно асимптотическую устойчивость, возмущенное движение по Ляпунову представляет собой переходную составляющую процесса в системе y_п(t). Таким образом, линейная стационарная система устойчива, если .

Если получено общее дифференциальное уравнение линейной стационарной системы

.

то переходная составляющая процесса в системе определяется как решение соответствующего однородного уравнения

.

и имеет вид, например,

,                                             (10.1)

где p_i– корни характеристического уравнения

 или D(s)=0, где D – характеристический полином системы, являющийся знаменателем ее передаточных функций.

Выражение (10.1) соответствует случаю отсутствия кратных корней характеристического уравнения. Его примем за основу в дальнейших рассуждениях. Основные выводы остаются справедливыми и при наличии кратных корней.

Прежде всего, отметим, что поскольку коэффициенты C_i в (10.1) определяются в зависимости от начальных условий и в общем случае произвольны, то для выполнения условия  необходимо, чтобы все слагаемые в (10.1) независимо друг от друга стремились к нулю. Рассмотрим их поведение при различных видах корней, отображая последние на плоскости корневого годографа (рисунок 84):

1. Вещественный отрицательный корень p₁=-a (a>0). Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей имеет вид  и с течением времени монотонно стремится к нулю (рисунок 85а).

2. Вещественный положительный корень p₂=a>0.  Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей имеет вид  и с течением времени монотонно стремится к бесконечности (рисунок 85б).

3. Нулевой корень p₃=0.  Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей остается константой.

4. Комплексно сопряженные корни с отрицательной вещественной частью p_4,5=–a±jb (a>0). Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей имеет вид  и определяет затухающие колебания (рисунок 86а).

5. Комплексно сопряженные корни с отрицательной вещественной частью p_6,7=a±jb (a>0). Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей имеет вид  и определяет расходящиеся колебания (рисунок 86б).

6. Мнимые корни p_8,9=±jb. Слагаемое в выражении (10.1) для переходной составляющей имеет вид  и определяет колебания с постоянной амплитудой (рисунок 86в).

Таким образом, для устойчивости системы  необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения (характеристического полинома) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости: .                                                                                       (10.2)

Если имеется хотя бы один корень в правой полуплоскости, система неустойчива.

Если имеется нулевой корень, а остальные удовлетворяют условию (10.2), система находится на апериодической границе устойчивости. Отметим, что это имеет место, если свободный член характеристического полинома a_n=0.

Если имеется пара мнимых корней, а остальные удовлетворяют условию (10.2), система находится на колебательной границе устойчивости.

Таким образом, на плоскости корневого годографа областью устойчивости является левая полуплоскость, границей устойчивости – вертикальная ось.

Для того, чтобы формально получить замкнутую область устойчивости, вводят третий вид границы устойчивости, соответствующий корням с . Отметим, что это имеет место, если в характеристическом полиноме .

Условие (10.2) неудобно для практического использования, так как задача определения корней характеристического полинома для системы высокого порядка может оказаться весьма трудоемкой. Его основная роль состоит в том, что оно является основой для получения системы условий и критериев устойчивости, применяемых на практике.

Необходимое условие устойчивости

Пусть характеристический полином системы имеет только отрицательные вещественные корни и пары комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью, то есть система устойчива. Представим его в виде произведения

Сопоставляя полученное выражение с общей формой записи характеристического полинома , нетрудно убедиться, что при a₀>0 и в случае устойчивости системы в нем будут присутствовать все степени s, причем обязательно с положительными коэффициентами.

Отсюда следует необходимое условие устойчивости: все коэффициенты характеристического полинома должны быть одного знака.

Это условие удобно для использования и является достаточным для систем первого и второго порядка.

Убедимся в этом.

Для системы первого порядка:

,

.

При a₀>0 и a₁>0 получаем вещественный отрицательный корень, то есть система устойчива.

Для системы второго порядка:

,

.

При положительных a₀, a₁ и a₂ возможны два случая:

- при  два отрицательных вещественных корня;

- при  пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью.

В обоих случаях система устойчива.

Для систем третьего и более высокого порядка при выполнении необходимого условия для окончательного ответа на вопрос об устойчивости системы требуется дополнительно применить одно из достаточных условий (критериев устойчивости).