Синтез систем управления, страница 2

 .

Учитывая, что для минимально-фазовой системы вид асимптотической ЛАХ однозначно определяет передаточную функцию, а значит и фазо-частотную характеристику, нетрудно убедиться, что для обеспечения сколько-нибудь приемлемого запаса устойчивости нельзя допустить, чтобы ЛАХ на частоте среза имела наклон -40 Дб/дек. Следовательно, при переходе к средним частотам желаемая ЛАХ должна изменить наклон. Типовой участок средних частот для желаемой ЛАХ показан на рисунке 15. Ему соответствует передаточная функция

,  .

Базовая частота связана с коэффициентом передачи соотношением: , а частота среза определяется через базовую частоту: .

Для обеспечения заданного значения показателя колебательности M длина участка ЛАХ с наклоном -20 дБ/дек должна составлять не менее:

.

Рекомендуемые значения постоянных времени определяются соотношениями:

,                                     (3.4)

.                                     (3.5)

При неравенствах в (3.4)-(3.5) обеспечивается дополнительный запас устойчивости, и показатель колебательности имеет меньшее значение.

Если в системе присутствуют другие инерционные звенья с меньшими постоянными времени, например:

, постоянная времени T₁ должна удовлетворять соотношению (3.4), а остальные постоянные времени должны удовлетворять неравенству:

.

Вернемся к примеру следящей системы, рассмотренному на лекции 2. Передаточная функция исходной разомкнутой системы:

, k=10; T_a=10; T_b=0,2.

Главная обратная связь – единичная. Требуется синтезировать корректирующее устройство, обеспечивающее e_max=0,1; M=1,5 при  и . Выполнить сравнительный анализ качества исходной и скорректированной систем.

Проверим устойчивость исходной системы алгебраическим способом: D(s)=T_aT_bs³+(T_a+T_b)s²+s+k; . Исходная система неустойчива.

На рисунках представлены модель исходной системы в Simulink и ее переходная характеристика, демонстрирующая неустойчивость системы, а также исходная ЛАХ системы.

Найдем частоту эквивалентного гармонического сигнала  и вертикальную координату контрольной точки:  Дб.

На рисунке представлена запретная область для низкочастотной части ЛАХ, соответствующая требованиям к точности системы.

Видно, что исходная ЛАХ не удовлетворяет этим требованиям. Для их выполнения необходимо сместить ЛАХ вверх до границы запретной области, то есть поднять на  Дб, что соответствует введению в систему дополнительного усилителя с коэффициентом усиления k_доп=5. Таким образом, итоговый коэффициент усиления синтезируемой системы составит: k_ж=k.k_доп=50.

Исходная для синтеза корректирующего устройства ЛАХ  проходит по участку границы запретной области с наклоном -20 (рисунок).

Желаемая ЛАХ на низких частотах проходит по границе запретной области, то есть отклоняется от исходной и меняет наклон на -40 на сопрягающей частоте w_э.

Для средних частот длина участка желаемой ЛАХ, пересекающего горизонтальную ось с наклоном -20, составляет , или 0,7 декады. Найдем постоянные времени и сопрягающие частоты, определяющие его границы, с учетом w₀=1 (рисунок):