Практикум по курсу "Основы цифровой обработки сигналов", страница 4

Задача 6. Требуется дискретизировать непрерывный сигнал, содержащий компоненты с частотами 1кГц и 2 кГц следующего вида:

      (1)

А затем выполнить 8-точеченое ДПФ этого сигнала.

Решение:

Основная (экспоненциальная) форма ДПФ имеет вид:

Из тождества Эйлера  можно получить эквивалентную тригонометрическую форму ДПФ

Где  – m-й компонент ДПФ, т.е. x(0), x(1),…,x(N-1) в частотной области

 – последовательность входных отсчетов, n=0, 1,…, N-1

При частоте дискретизации мы берем отсчеты входного сигнала каждые  секунд. Поскольку N=8 нам нужно взять 8 входных отсчетов, над которыми выполнить ДПФ. Таким образом, 8 элементная последовательность x(n) определяется как

Если мы выберем частоту дискретизации , то значит этих отсчетов равны

Подставляя значения отсчетов в  в формулу (2), получаем

Итак мы видим, что входной сигнал  содержит компонент с частотой 1 кГц,(n=1) (т.к. ) с амплитудой

Повторяя проделанные вычисления для n=2,…,7, получаем

Наконец, определим x(0)

Точный спектральный анализ дает рис.1, из которого видно, что x(t) имеет с частотой 1кГц (n=1) и 2кГц (m=2). Более того, амплитуда тока с частотой 1кГц в два раза больше, чем амплитуда тока с частотой 2кГц.

Рисунок 1

Все это мы могли понять и непосредственно из формулы (1). Однако наблюдательный студент может задать вопрос. Что означают ненулевые значения амплитуды при m=6 и m=7? Это связано с так называемым свойством симметрии ДПФ. А именно, m-й отсчет ДПФ имеет такой же модуль, что и (N-m)-й. Действительно, подставляя в формулу (*) (N-m) вместо m, получаем

Т.к., * - знак комплексного сопряжения (на модуль не влияет).

Таким образом, чтобы получить ДПФ (вернее модуль ДПФ) достаточно вычислить только первые N/2+1 отчетов X(m) при . Отсчетом X(N/2+1) до X(N-1) не дают дополнительной информации о модуле спектральных составляющих последовательности X(n). (P.S. Свойство симметрии справедливо лишь при подаче на вход вещественных значений входных величин. При подаче комплексных значений это свойство не выполняется).

Задача 7. Вычислить 8-точечную БПФ последовательности данных, представляющую сигнал  из предыдущей задачи.

Решение: В соответствии с задачей 3 дискретная последовательность имеет вид

Полная реализация алгоритма алгоритма ДПФ с прореживанием по времени для 8-точечного ДПФ имеет вид:

Рисунок 2

Выходные значение первого каскада даны на рисунке и очевидны, т.к.

Выходные данные второго каскада

Вычисляя результат третьего каскада получаем окончательный ответ:

Результат получился аналогичным задаче 6, что позволяет утверждать, что БПФ не является аппроксимацией ДПФ, а представляет собой ДПФ с уменьшенным количеством арифметических операций.

Задачи к разделу 10

Задача 1 Необходимо спроектировать КИХ-фильтр нижних частот со следующими ограничениями

Для этого применяем окно к импульсной характеристике  идеального дискретного фильтра нижних частот с частотой отсечки . Какое из стандартных окон, перечисленных в подразделе 10,5 следует взять для достижения заданной цели?  Для каждого подшедшего окна необходимо уточнить длину M+1 требуемого фильтра.

Решение:

В соответствии с условиями задачи АЧХ ФНЧ имеет вид:

Допустимый уровень пульсаций

В соответствии с таблицей 10,2 подходят окна Хэннинга, Хэмминга и Блэкмана. При этом длина фильтров Хэннинга и Хэмминга определяется из равенств

откуда N=32 и N+1=33

Для фильтра Блэкмана

откуда N=48 и N+1=49

Задача 2 Необходимо спроектировать КИХ-фильтр нижних  частот при следующих ограничениях

Для этого применить окно Кайзера к импульсной характеристике  идеального дискретного фильтра нижних частот с частотой отсечки . Найти параметры и N окна Кайзера, при которых выполняются заданные ограничения.

Решение:

В соответствии с п.10.5.1.