Практикум по курсу "Вычислительная математика" (Практические работы № 1-12: Элементы теории погрешностей. Метод сеток для уравнения параболического типа)

ВВЕДЕНИЕ

Вычислительная математика – это методы приближенного решения математических задач.

Практикум “Вычислительная математика” составлен для студентов специальностей 2202 – “Автоматизированные системы обработки информации и управления” и 0719 – “Информационные системы в технике и технологиях” по курсу “Вычислительная математика”.

В данном практикуме рассмотрены основные вопросы численных методов: погрешности вычислений; численные методы линейной алгебры; решение нелинейных уравнений и систем; интерполяция функций; численное интегрирование и дифференцирование; решение обыкновенных дифференциальных уравнений; методы приближения и аппроксимации функций; преобразование Фурье; равномерное приближение функций.

Его цели:

1)  усвоение и закрепление основных алгоритмов, понятий и определений вычислительной математики;

2)  практическое решение типичных задач вычислительной математики, требующих небольшого объема вычислений, которые могут быть проведены с помощью вычислительных средств.

В начале каждого раздела даются сжатые теоретические сведения,  рассматриваются решения типовых примеров и варианты заданий  для самостоятельных упражнений. 

ПРАКТИЧЕСКАЯ   РАБОТА   № 1.

ЭЛЕМЕНТЫ  ТЕОРИИ  ПОГРЕШНОСТЕЙ

Цель – освоение основных действий над приближенными числами: выполнение арифметических действий над приближенными числами; округление чисел; определение погрешности результата вычислений; нахождение погрешности функции по заданным приближенным числам; нахождение погрешностей аргументов по заданным приближенным значениям функций.

                                         ОБЩИЕ  СВЕДЕНИЯ

                                      1. Приближенные числа

Под погрешностью понимается некоторая величина, характеризующая точность результата. Существует три вида погрешностей: 1) неустранимая погрешность (возникающая от недостаточно точного отображения реальных явленийих математической моделью); 2) погрешность метода; 3) погрешность вычислений (возникающая из – за округлений).

Основная задача теории погрешностей – указание области неопределенности результата. 

Буквами а, в, с, ... будем обозначать точные числа, а^*, в^*, с^*, ... – приближенные числа.

Числоа^*, незначительно отличавшееся от точного числа а и заменяющее последнее в вычислениях, является приближенным.

При вычислении часто вместо точного значения а какой-либо величины приходится использовать приближенное значение а^* этой величины, отличающееся от точного. Если известно, что , то а^* называется приближенным значением точного числа а по недостатку; если же , то а^*  называется приближенным значение точного числа а по избытку.

2. Абсолютная и относительная погрешности

Разность Δ между точным числом  а  и его приближенный значением а^* называется ошибкой или погрешностью данного приближенного числа.          

Абсолютной погрешностью приближенного числа а^* является

Δа^* = ½ а - а^* ½.

Постольку чаще всего точное значение а неизвестно, то для оценки приближения используют абсолютную погрешность, т.е. такую величину Δа, при которой ½ а - а^* ½£ Δа^* или ,что равносильно тому, что значение заключено в пределах

а – Δа^*£а £ а + Δа^*.

Часто полученное неравенство, задающее область неопределенности точного значения а, записывают в виде:

а^* = а ± Δа^*.

Отметим, что абсолютная погрешность - величина размерная, имеющая размерность, приближенного числа а^*.

Пояснение: Если а^* - расстояние, пробегаемое бегуном за тренировку и измеряемое в метрах (м), то абсолютнаяΔа^* погрешность, с которой измерено расстояние, преодоленное спортсменом на тренировке, также имеет размерность в метрах.

С помощью абсолютной погрешности можно отразить количественную сторону погрешности некоторого результата, но не качественную. Например, измерение расстояния, проделанного прыгуном в длину с точностью 0,5 см. С такой же погрешностью измерена длина беговой дорожки стадиона. Очевидно, что второе измерение выполнено более качественно, чем первое