Линейная аппроксимация. Линейная аппроксимация для нелинейных функций. Нахождение собственных чисел и векторов матриц методом Крылова

существовал единственный обобщенный многочлен наилучшего приближения, необходимо и достаточно, чтобы функции образовывали систему Чебышева, т.е. любой обобщенный многочлен по этой системе функций имел на отрезке  не более n различных нулей.

В методе наименьших квадратов неизвестную функцию , заданную в отдельных точках (узлах), аппроксимируют некоторыми известными функциями  из определенного класса функций таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений функции  от  в узлах была бы минимальной [4,6].

,                                                                         (1)

где  – точки, в которых задана функция , причем .

В тех случаях, когда известно, что значения  имеют неодинаковую точность, можно вводить веса  и минимизировать сумму

.                                                                               (2)

2. Линейная аппроксимация

Если в качестве аппроксимирующих функций  из линейного класса функций рассмотреть функции вида  и ограничиться случаем , тогда решение задачи (1) означает, что неизвестную функцию  аппроксимирует линейная функция вида

.                                                                                  (3)                 

Такая аппроксимация возможна, когда заданные точки  располагаются вблизи некоторой прямой линии. Проверить это можно либо визуально, нанеся такие точки на плоскость либо аналитически  рассчитав  все  отношения

_,                                                                                                                                                     (4)

где . Если данные отношения будут примерно одинаковыми, линейная аппроксимация (3) возможна. Коэффициенты и  при этом задаются формулами

                                                                   (5)                

где                                                                                                     

Пример 1. Для функции , заданной в двух первых строках табл.5,  найти ее приближенное линейное аналитическое выражение.

Решение.

                                                                                                         Таблица 5

В последней строке табл.5 произведен подсчет всех отношений вида (4), которые оказались примерно одинаковыми. Поэтому неизвестную функцию  аппроксимируем линейной функцией вида (3). По формулам (5) получим: 

Следовательно, функция является приближенным аналитическим выражением заданной в табл.5 неизвестной функции .

3. Линейная аппроксимация для нелинейных функций

Часто неизвестная функция не является линейной. Если нанести заданные точки  на плоскость, то по характеру их расположения  можно определить, к какому классу функций она относится. Это делается путем сравнения полученной на плоскости картины с графиками известных функций, которые приводятся в справочниках по математике.

Для ряда функций, – например, таких как и некоторых других, при определении неизвестных коэффициентов a и b можно (после некоторых преобразований) использовать формулы вида (5). При этом преобразование функций необходимо сделать таким образом, чтобы полученные функции имели линейных характер. Рассмотрим подобные преобразования для некоторых функций.

Для функций вида , взяв логарифм от обеих частей, получим . Обозначая теперь , получим уравнение прямой . Если исходная функция задана точками , то новые точки, полученные по правилу , будут лежать вблизи некоторой прямой вида (3), коэффициенты которой можно найти по формула (5). Для получения неизвестных коэффициентов  и  исходной функции делаем обратные преобразования:

Для функции вида  линейность достигается следующим образом: . Новые точки получают по правилу (). Обратные преобразования – как и для предыдущей функции.

С функцией  получаем:   . Точки прямой получаем по правилу ().

Для функции  , где n – некоторое неизвестное целое число, поступают так: . Новые точки вычисляются по правилу ().

После преобразований точек () к точкам () необходимо проверить, лежат ли последние вблизи прямой.  Это можно делать по правилу (4). Если постоянства не наблюдается, – значит, либо имеются ошибки при преобразовании точек, либо неверно выбран класс функции и его следует уточнить.

Пример 2. Для неизвестной функции , заданной в точках  найти в табл.6 ее приближенное аналитическое выражение.

Решение.                                                    

Таблица 6

Из табл.6 видно, что отношения  неодинаковы, – следовательно, непосредственная линейная аппроксимация неприемлема.

Анализируя график функции , построенный по точкам (), , можно заключить, что эта функция вида  (см. рис. 3, стр. 47).

Преобразуем эту функцию к линейному виду . Обозначая ,, получаем уравнение прямой . В табл.6 приведены преобразованные точки () и рассмотрены отношения , которые для всех  приблизительно одинаковы. Следовательно, точки (),  лежат вблизи прямой , коэффициенты которой получим по формулам (5): ;    =0,69. Произведем обратные преобразования и получим: 2,99, .

Следовательно, функция  является приближенным аналитическим выражением заданной в табл.6 функции .

Рис.3.

При расчетах коэффициентов  и  рекомендуется расширить табл.6 строками для вычислений величин  и . Суммы по строкам  , , получаемые непосредственно из таблиц, облегчат вычисления по формулам (5).

Вопросы для самоконтроля

1.  Сформулируйте задачу построения наилучшего приближения на абстрактном языке.

2.  К чему сводится задача построения интерполяционного многочлена с узлами интерполяции, соответствующими корням ортогонального многочлена?

3.  В чем заключаются необходимые и достаточные условия того, чтобы многочлен являлся многочленом наилучшего равномерного приближения для непрерывной функции?

4.  К чему сводится задача решения многомерных задач?

5.  Каким образом может достигаться повышение качества приближения?

Ч.1.7. Нахождение собственных чисел  и векторов матриц

методом Крылова

1.  Отыскание собственных значений матрицы. Число  называется собственным значением матрицы А, если существует ненулевой вектор х, удовлетворяющий уравнению 

                                                                                                        (1) и называемый собственным вектором матрицы А, отвечающий собственному значению . Запишем систему (1) в виде

.

Эта однородная система имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т. е.        

.                                                                                           (2)

Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характеристическому (векторному) уравнению

,                                 (3)  представляющему собой алгебраическое уравнение степени n. Решать уравнение можно любым методом для решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Использование теоремы   Гамильтона — Кэли для матрицы A[6] приводит к системе

                                                  (4)              где  и  – произвольный начальный вектор.

Если матрица А симметричная, то все ее собственные значения являются вещественными числами. Для несимметричных матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида  с ненулевой мнимой