существовал
единственный обобщенный многочлен наилучшего приближения, необходимо и
достаточно, чтобы функции
образовывали систему
Чебышева, т.е. любой обобщенный многочлен по этой системе функций имел на
отрезке
не более n различных нулей.
, (1)
где –
точки, в которых задана функция
, причем
.
В тех случаях, когда
известно, что значения имеют неодинаковую точность,
можно вводить веса
и минимизировать сумму
.
(2)
2. Линейная аппроксимация
Если в качестве
аппроксимирующих функций из линейного класса функций рассмотреть функции вида
и ограничиться случаем
, тогда решение задачи
(1) означает, что неизвестную функцию
аппроксимирует линейная функция вида
.
(3)
Такая аппроксимация возможна, когда
заданные точки располагаются вблизи некоторой
прямой линии. Проверить это можно либо визуально, нанеся такие точки на
плоскость либо аналитически рассчитав все отношения
,
(4)
где . Если
данные отношения будут примерно одинаковыми, линейная аппроксимация (3)
возможна. Коэффициенты
и
при этом задаются формулами
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1,0 |
2,1 |
3,0 |
3,9 |
4,9 |
6,0 |
|
1,5 |
3,1 |
4,6 |
6,0 |
7,5 |
9,1 |
|
1,5 |
1,7 |
1,6 |
1,5 |
1,5 |
В последней
строке табл.5 произведен подсчет всех отношений вида (4), которые оказались
примерно одинаковыми. Поэтому неизвестную функцию аппроксимируем линейной функцией вида
(3). По формулам (5) получим:
Следовательно,
функция является приближенным аналитическим выражением заданной в
табл.5 неизвестной функции
.
3. Линейная аппроксимация для нелинейных функций
Часто неизвестная
функция не является линейной. Если нанести
заданные точки
на плоскость, то по характеру их
расположения можно определить, к какому классу функций она относится. Это
делается путем сравнения полученной на плоскости картины с графиками известных
функций, которые приводятся в справочниках по математике.
Для функций вида , взяв логарифм от обеих частей,
получим
. Обозначая теперь
,
получим уравнение прямой
. Если исходная функция
задана точками
, то новые точки, полученные по
правилу
, будут лежать вблизи некоторой прямой вида
(3), коэффициенты которой можно найти по формула (5). Для получения неизвестных
коэффициентов
и
исходной
функции делаем обратные преобразования:
Для функции вида линейность достигается следующим образом:
. Новые точки получают по правилу (
). Обратные преобразования – как и для
предыдущей функции.
С функцией получаем:
. Точки прямой получаем по правилу (
).
Для функции , где n – некоторое неизвестное целое число, поступают так:
. Новые точки вычисляются по правилу
(
).
После преобразований
точек () к точкам (
) необходимо проверить, лежат ли
последние вблизи прямой. Это можно делать по правилу (4). Если постоянства не
наблюдается, – значит, либо имеются ошибки при преобразовании точек, либо
неверно выбран класс функции и его следует уточнить.
Пример 2. Для неизвестной функции , заданной в точках
найти
в табл.6 ее приближенное аналитическое выражение.
Решение.
Таблица 6
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
5 |
|
0,06 |
0,13 |
0,25 |
0,52 |
0,71 |
1,02 |
1,41 |
2,01 |
3,97 |
|
0,1 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,2 |
2,0 |
0 |
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
4 |
5 |
|
-2,81 |
-2,04 |
-1,39 |
-0,65 |
-0,34 |
0,02 |
0,34 |
0,70 |
1,37 |
|
0,8 |
0,7 |
0,7 |
0,6 |
0,7 |
0,6 |
0,7 |
0,7 |
0 |
Из табл.6 видно, что
отношения неодинаковы, – следовательно, непосредственная линейная
аппроксимация неприемлема.
Анализируя график функции
, построенный по точкам (
),
, можно заключить, что эта функция
вида
(см. рис. 3, стр. 47).
Преобразуем эту функцию к
линейному виду . Обозначая
,
, получаем уравнение прямой
. В табл.6 приведены преобразованные точки
(
) и рассмотрены отношения
, которые для всех
приблизительно одинаковы. Следовательно,
точки (
),
лежат вблизи прямой
, коэффициенты которой получим по формулам
(5):
;
=0,69. Произведем обратные
преобразования и получим:
2,99
,
.
Следовательно, функция является приближенным аналитическим
выражением заданной в табл.6 функции
.
![]() |
Рис.3.
При расчетах коэффициентов и
рекомендуется
расширить табл.6 строками для вычислений величин
и
. Суммы по строкам
,
, получаемые непосредственно из
таблиц, облегчат вычисления по формулам (5).
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте задачу построения наилучшего приближения на абстрактном языке.
2. К чему сводится задача построения интерполяционного многочлена с узлами интерполяции, соответствующими корням ортогонального многочлена?
3. В чем заключаются необходимые и достаточные условия того, чтобы многочлен являлся многочленом наилучшего равномерного приближения для непрерывной функции?
4. К чему сводится задача решения многомерных задач?
5. Каким образом может достигаться повышение качества приближения?
Ч.1.7. Нахождение собственных чисел и векторов матриц
методом Крылова
1.
Отыскание
собственных значений матрицы. Число называется собственным
значением матрицы А, если существует ненулевой вектор х, удовлетворяющий
уравнению
(1) и называемый собственным вектором матрицы А, отвечающий собственному
значению
. Запишем систему (1) в виде
.
Эта однородная система имеет ненулевое решение х тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю, т. е.
.
(2)
Раскрытие этого уравнения приводит к так называемому характеристическому (векторному) уравнению
,
(3) представляющему собой алгебраическое
уравнение степени n.
Решать уравнение можно любым методом для решения алгебраических и трансцендентных
уравнений. Использование теоремы Гамильтона — Кэли для матрицы A[6] приводит к системе
(4) где
и
– произвольный начальный вектор.
Если матрица А симметричная, то все
ее собственные значения являются вещественными числами. Для несимметричных
матриц возможно наличие комплексных собственных значений вида с ненулевой мнимой
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.