Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма

меру случайных погрешностей, вызвавших разброс результатов измерений, обычно принимают среднее квадратическое отклонение s . Оценку s определяют по разбросу результатов измерений, которые служили для оценки истинного значения.

Величину средней квадратической погрешности измерений (стандарта) определяют по формуле …, а средней квадратической погрешности среднего арифметического – по формуле ….

Математический смысл величины   заключается в следующем. При проведении большого количества серий опытов найденное в результате каждой серии значение  распределяется около истинного значения по закону, близкому к закону нормального распределения с дисперсией s², мало отличающейся от . При таком количестве опытов вероятность того, что , найденное в некоторой серии измерений, будет отличаться от истинного значения не более чем на , составляет 63,3 %; вероятность отклонения меньше чем на  равна 94,4 % и т.д. Для единственной серии опытов  служит полезной оценкой количественного смысла не имеет. В этом случае для оценки наибольшего возможного отклонения среднего арифметического от истинного значения х используют распределение Стьюдента. Величину  можно принять в качестве абсолютной погрешности среднего арифметического с вероятностью g.

Абсолютная погрешность среднего арифметического  независимых измерений оценивается по формуле

Интервальной оценкой измерений величины х является доверительный интервал , в которой попадает истинное значение с заданной доверительной вероятностью g. Окончательный результат измерений запишется в виде .

Относительная погрешность среднего арифметического

Пример. Спектрофотометрический анализ хинина сульфата в таблетках по 0,25 г при длине волны 234 нм дал следующие результаты: 99,9 %; 99,8; 99,6; 99,1; 99,2 и 99,2 %. Определить среднее значение и абсолютную и относительную погрешность при доверительной вероятности r = 0,95.

Решение. По формуле …,

Оценка стандартного отклонения

t_0,95 (5) = 2,57.    Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Истинное содержание хинина сульфата в таблетках х=(99,5 ± 0,3) %.

9.8. ОЦЕНКА СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Рассмотрим случай, когда искомая величина у связана с измеряемой величиной х (или несколькими измеряемыми величинами х_i) известной функциональной зависимостью:

у = f(x₁, x₂, …, x_i, …, x_r).

Такие измерения называют косвенными.

Оценкой истинного значения у косвенно измеренной величины является среднее значение

где  - средние арифметические измеряемых на опыте величин x₁, x₂,…, x_r.

Оценкой среднего квадратического отклонения является средняя квадратическая погрешность среднего значения , вычисленная по формуле

В этой формуле производные должны быть взяты в точках , а  обозначают средние квадратические погрешности средних значений измеряемых величин.

Абсолютная погрешность  среднего значения оценивается по формуле

Интервальной оценкой у является доверительный интервал , в который попадает истинное значение косвенно измеренной величины у с заданной доверительной вероятностью g. Окончательный результат косвенно измеренной величины записывают в виде .

Относительная погрешность среднего значения

10. ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Случайная величина Х имеет нормальное распределение. при выборке объема n=15 выборочная средняя  и исправленное среднее квадратичное отклонение s=0,6. Оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95.

11. САМОКОНТРОЛЬ УСВОЕНИЯ ТЕМЫ:

Найти доверительный интервал для средней активности тетрациклина гидрохлорида с доверительной вероятностью 0,95 исходя из результатов серии измерений в пересчете на сухое вещество, представленных в табл