Промышленные логические системы управления (Глава 10 книги "Роботы и автоматизация производства"), страница 6

те, в свою очередь, используются для доказательства других теорем и законов и т. д. Данная книга не ставит целью углубляться в математические доказательства, но чтобы проиллюстрировать метод, приведем лишь одно из них:

ДОКАЗАТЬ

Закон поглощения Х + ХY = X. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

X+ XV = X*l + X*Y =                 (На основании характеристической теоремы)

=Х (1 + Y) =                 (На основании закона дистрибутивности)

= Х*1 =                 (На основании характеристической теоремы) 

= Х                   (На основании характеристической теоремы)

Что и требовалось доказать.

10.7

Лучший способ отточить знания булевой алгебры — это попытаться доказать все теоремы и законы, представленные в табл. 10.7. Основные из них либо интуитивно очевидны, либо должны быть приняты как аксиомы. Сюда относятся законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, а также теоремы: характеристические, включения, идемпотентности и отрицания отрицания. Читатель, вероятно, уже успел заметить, что многие основные законы обычной алгебры имеют тот же смысл и в булевой алгебре (например, законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности). Однако не следует слишком полагаться на знание обычной алгебры. Для примера рассмотрим детальнее четыре варианта характеристической теоремы из табл. 10.7. Первые три варианта вписываются в рамки обычной алгебры, но четвертый (X + 1 = 1) противоречит ее правилам. Инженер по автоматике, чтобы не попасть в ловушку, применяя правила обычной алгебры к логическим выражениям, прежде всего должен проверить, действует ли данное правило в алгебре логики.

Опуская доказательства теорем булевой алгебры, воспользуемся ими с целью упрощения логического выражения (10.36), полученного ранее для пульта с блокировкой. Это выражение образовано на основании соответствующей таблицы истинности, в которой выход формируется как функция трех входных переменных. Оно является неоправданно длинным и сложным; с помощью законов и теорем булевой алгебры это выражение значительно упрощается:

 (исходное выражение 10.36)

(закон дистрибутивности)

=  (теорема включения)

(характеристическая теорема)

Выводы

В этой главе мы рассмотрели, из каких основных блоков образуются логические выражения и как эти выражения можно использовать в качестве моделей промышленных логических систем автоматического управления.

Наиболее полное представление о взаимосвязях между входными и выходными переменными дает таблица истинности. Необходима определенная система, позволяющая отразить в таблице истинности все комбинации входных переменных. На примерах с пультом с блокировкой и кнопочным выключателем мы убедились, что при определении последующего логического состояния выходной переменной она одновременно может играть роль входной переменной.

Булева алгебра позволяет не только записывать логические выражения, но и приводить их к наиболее простому виду. Подобное упрощение открывает прямой путь к повышению экономичности и надежности промышленных логических систем управления.

В гл. 11 мы рассмотрим, как на основе булевой алгебры создаются принципиальные схемы промышленных логических систем управления, что приблизит нас к реальным физическим представлениям об этих системах.