Промышленные логические системы управления (Глава 10 книги "Роботы и автоматизация производства"), страница 5

И наоборот, для любой таблицы истинности можно записать соответствующее булево логическое выражение. Возвращаясь к примеру с пультом с блокировкой, запишем булево логическое выражение, воспользовавшись табл. 10.1. Чтобы не спутать входную и выходную переменные, обозначенные в таблице одним символом Р, присвоим выходной переменной обозначение Р'. Из табл. 10.1 видно, что четыре значения выхода Р' равны единице, а остальные являются нулями. Каждая из единиц соответствует одной возможной альтернативе образования этого значения; следовательно, в булевом выражении необходимо предусмотреть оператор ИЛИ, воздействующий на четыре слагаемых. Каждое из этих слагаемых должно представлять собой определенную комбинацию входных переменных, соответствующую данной строке таблицы истинности. Например, вторая строка табл. 10.1 говорит о том, что одна из возможностей образования логической единицы для выхода Р' — это равенство нулю входных переменных S и Lи равенство единице входной переменной Р. Полностью булево выражение имеет следующий вид:

10.6

Как и в обычной алгебре, скобки и символы умножения часто опускают, тогда (10.3а) принимает вид

Ниже будет показано, что выражение (10.36) можно упростить, воспользовавшись теоремами булевой алгебры.

В качестве  примера   приводится  таблица  истинности (табл. 10.6) с тремя входами и шестью различными столбцами для выхода, соответствующими разным булевым выражениям.

Упрощение алгебраических выражений. В булевой алгебре имеются теоремы и законы, похожие на законы обычной алгебры, но в то же время отличающиеся от них в некоторых существенных моментах. Поводом для рассмотрения здесь этих законов и теорем является желание вооружить инженера по автоматике методами упрощения логических выражений и, следовательно, технических средств, необходимых для решения прикладных задач.

Чтобы показать, как применяются теоремы булевой алгебры, начнем с простого примера на преобразование правой части выражения (10.4):

Это выражение в словесной интерпретации означает:

Выход Х будет равен 1, если

1.  Вход А равен 1

И

2. Вход В равен либо 1 либо 0.

Совершенно очевидно, что если вдуматься в эти слова, то выражение (10.4) можно существенно упростить. Напомним, что логическая переменная может принимать только два значения:

О или 1. Следовательно, В может быть либо единицей, либо нулем. Но выражение (10.4) содержит множитель . Оператор ИЛИ (+) говорит нам о том, что В либо существует, либо не существует. Поскольку какое-то одно из этих взаимоисключающих событий всегда имеет место, то соответствующую часть выражения можно просто уничтожить без последствий для выхода X. Выражение (10.4) тогда приводится к виду

Х=A.                      (10.5)

Таким образом, если значение Л равно единице, то и Х будет единицей; если же A есть нуль, то и Х будет нулем. Выражение (10.4) удалось упростить благодаря применению двух простейших теорем булевой алгебры:

1. Теорема включения: В + В = 1.

2. Характеристическая теорема: А*1 = А.

На практике большинство логических выражений гораздо сложнее, нежели (10.4), но с помощью законов и теорем булевой алгебры многие из них можно значительно упростить.

Наиболее часто используемые законы и теоремы булевой алгебры сведены в табл. 10.7, которая может оказаться полезной при решении практических задач логического управления, описанных в данной книге. Как и в обычной алгебре или любой другой науке, основные аксиомы служат для доказательства теорем;