Промышленные логические системы управления (Глава 10 книги "Роботы и автоматизация производства"), страница 4

10.3

алгеброй (по имени английского математика и логика XIX в. Джорджа Буля), она похожа на обычную алгебру, но в то же время отличается от нее в основных положениях. Основы булевой алгебры излагаются здесь с минимумом теории, при этом преследуются две цели:

1. Дать возможность инженеру по автоматике в лаконичной форме описать логические соотношения между переменными в системе.

2. Продемонстрировать применение теорем и законов булевой алгебры для упрощения логических систем управления.

Основные операторы. Для образования булевых логических выражений необходимы всего лишь три основных оператора, представленных в табл. 10.3.

Может показаться несколько странным, что заимствованный из обычной алгебры знак плюс используется для логического ИЛИ, тогда как естественнее было бы использовать его для логического И. Кроме того, точка, которая в обычной алгебре является символом умножения, в булевой алгебре используется для обозначения логического И. В алгебре логики можно пользоваться терминами множители и слагаемые в их обычном смысле, если, конечно, представлять себе все отличия от обычной алгебры.

При интерпретации булевых логических выражений смысл содержащихся в них операторов становится более понятным, если каждый множитель представлять как необходимое условие, а каждое слагаемое — как допустимую альтернативу для получения результата.

Проиллюстрируем с помощью нескольких примеров смысл логических алгебраических операторов. Простейшим выражением алгебры логики является (10.1), в котором выходная (зависимая) переменная Y является функцией двух входных (независимых) переменных A и В:

У = А*В.                     (10.1)

Это выражение говорит о том, что обе входные переменные, A и В, должны быть истинными (т. е. иметь значения, равные единице), для того чтобы выходная переменная также была истинной (что соответствует логической единице). Поскольку выражение содержит только одно слагаемое, альтернативы не существует;

только определенная комбинация A и В может дать результат Y. Выражение (10.2) создает альтернативу для получения выхода Y:

10.4

10.5

Y = (А*В) +С.                  (10.2)

Согласно этому выражению выход Y будет иметь значение, равное единице, если равна единице переменная С, даже когда остальные переменные, A и B, не равны единице. Выражение (10.2), которое читается как «A и B или С», представляет собой менее строгое условие формирования выходной переменной Y, нежели (10.1).

Оператор НЕ просто изменяет значение выражения на обратное, т. е. если оно равно нулю, то оператор НЕ делает его равным единице, и наоборот. Скобки в булевых выражениях имеют тот же смысл, что и в обычных алгебраических выражениях.

Связь с таблицей истинности. Булево логическое выражение полностью может быть представлено таблицей истинности. Все переменные, входящие в выражение, заносятся в таблицу в качестве входных переменных, а значение всего выражения — в качестве выходной переменной. Так, в булевых выражениях (10.1) и (10.2) переменная, стоящая слева от знака равенства, в таблице истинности должна играть роль выходной переменной. Табл. 10.4 и 10.5 представляют собой таблицы истинности для выражений (10.1) и (10.2) соответственно.