Слои в плазме. Сила высокочастотного давления

Глава 6.         Некоторые нелинейные явления.

6.1.    Слои в плазме.

            В практических применениях плазму довольно редко можно считать бесконечной и однородной. Ее ограничивают стенки установки, электроды, поверхность зонда и т.д. Ясно, что вблизи любой ограничивающей плазму поверхности условия ее существования меняются. Оставляя в данный момент в стороне вопросы, связанные с воздействием плазмы на стенку, внесением примесей и т.д. рассмотрим ситуацию с точки зрения электростатики. Магнитное поле также исключим из рассмотрения. Представим себе вначале качественную картину. Примем потенциал плазмы равным нулю. Будем считать, что заряженные частицы, составляющие плазму, исчезают, сталкиваясь со стенкой: ионы превращаются в атомы, электроны поглощаются. При равенстве температур электронов и ионов тепловая скорость электронов существенно больше из-за малой массы и они быстрее ионов выходят на стенку, заряжая плазму положительно (или стенку – отрицательно). Поскольку вдали от стенки плазма квазинейтральна и электрическое поле в ней отсутствует, то весь перепад потенциала, вызванный указанным избытком положительных зарядов в ограниченной плазме, сосредоточится вблизи стенки, препятствуя выходу электронов так, чтобы уравнять потоки электронов и ионов на стенку. Такая пристеночная область, в которой нарушена квазинейтральность плазмы и существует градиент потенциала, называется обычно двойным слоем или слоем.

6.1.1.   Задача о плоском диоде

Начнем с рассмотрения модели, которую можно представить как предельный случай слоя.

Рассмотрим плоский диод – систему, состоящую из двух бесконечных пластин 1 и 2, расположенных параллельно одна другой на расстоянии d. Одна из пластин является эмиттером заряженных частиц, ускоряемых по направлению ко второй разностью потенциалов U = j  - j_1. Без ограничения общности можем считать потенциал эмиттера нулевым (j₁ = 0).Пусть ось x направлена перпендикулярно пластинам, плотность тока частиц, эмиттируемых с нулевыми начальными скоростями пластиной 1 равна j , масса каждой частицы m , а ее заряд q . Будем искать распределение потенциала между пластинами вдоль оси x .

Воспользуемся уравнением Пуассона, которое в данном случае будет одномерным

                                                 (6.1.1)

где  r(x) º e×n(x) - распределение плотности заряда вдоль оси x . С учетом сохранения плотности тока вдоль x : j = e×n(x) ×v(x) = const. (v – скорость частиц вдоль оси, зависящая от пройденной разности потенциалов и, следовательно, от координаты) выразим r(x):

                              (6.1.2)

и, подставив в (6.1.1), получим

                                    (6.1.3)

Обозначив: , перепишем уравнение (6.1.3) в виде:

                                     (6.1.3а)

Первый интеграл уравнения (6.1.3а) получим, умножив обе его части на , после чего оно превратится в:

                      (6.1.4)

Откуда легко следует:

                                  (6.1.5)

В случае  постоянная интегрирования С также обращается в нуль, следовательно имеем:                                                                                                (6.1.6)

Интегрируя затем (6.1.6), получим:

где при принятых условиях: V=0  при  x=0, постоянная интегрирования также приравнивается нулю. Таким образом имеем окончательный ответ:

                                 (6.1.8)

Подставляя теперь в (6.1.8) значение B, перепишем его:

                         (6.1.9)

Имея в виду, что при принятых условиях, потенциал второго электрода равен разности потенциалов между пластинами (), выразим, используя (6.1.9), плотность тока, проходящего через диод с расстоянием d между электродами при разности потенциалов U между ними:

                                  (6.1.10)

Выражение (6.1.10) называется законом Чайлда-Ленгмюра или законом «3/2».

Если U выражено в Вольтах, j – в Амперах и d – сантиметрах, то «Закон 3/2» будет выглядеть следующим образом :

M – масса частиц в единицах протонной массы. В частности для электронов M=1/1840 и выражение примет вид

6.1.2. Плоский слой

Перейдем теперь к исследованию стационарной ситуации при которой поток холодных ионов (T_i = 0) плазмы идет на стенку вдоль оси x, ускоряясь полем слоя (которое одновременно препятствует уходу электронов). Будем считать, что в точке x = 0  скорость ионов v_{i  =} v₀  и плотность n₀ .

Используем, как и в предыдущем случае, одномерное уравнение Пуассона. Здесь нам придется учесть уже два сорта частиц, вносящих вклад в формирование плотности объемного заряда: ионы и электроны. Плотность ионов можно выразить с помощью следующих соображений : они ускоряются электростатическим полем при сохранении плотности потока .

Запишем для потока ионов закон сохранения энергии :

                           (6.1.11)

и уравнение непрерывности:

                                       (6.1.12)

Выразив затем из (6.1.11) текущую скорость ионов V(x) , получим с помощью (6.1.12) текущую плотность ионов:

                             (6.1.13)

Что касается электронов, то для них примем Больцмановское распределение:

                                    (6.1.14)

Тогда уравнение Пуассона запишется в следующем виде:

    (6.1.15)

Уравнение (6.1.15) можно переписать более компактно:

                                  (6.1.16)

если ввести безразмерные переменные:

;   ;   ;   .            (6.1.17)