Экономика и менеджмент \ Эконометрика

Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о форме связи. Расчет параметров уравнений парных регрессий

Страницы работы

11 страниц (Word-файл)

Скачать файл

Фрагмент текста работы

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Комсомольский-на-Амуре государственный

технический университет»

Факультет экономики и технологий

Кафедра экономики и финансов

Расчетно-грфическое задание.

По дисциплине: Эконометрика

вариант 5

Студент группы: 8ФК3д-1А Соколов А. Ю.

Преподаватель: Григорьева А. Л.

2010

Задача. По некоторым территориям России известны данные.

Задание:

1) Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2) Рассчитайте параметры уравнений парных регрессий:

· Линейной

· Степенной

· Логарифмической

· Показательной

3) Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4) Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в п.3 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

5) Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.

6) Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.

Район	Потребительские	Денежные дохо-
	расходы на	ды на душу
	душу населения,	населения,
	тыс. руб	тыс. руб
	х	у
Республика Марий Эл	302	544
Республика Мордовия	360	560
Чувашская республика	310	545
Кировская область	415	672
Нижегородская область	452	796
Белгородская область	502	777
Воронежская область	355	632
Курская область	416	688
Липетская область	501	833
Тамбовская область	403	577
Республика Калмыкия	208	584
Республика Татарстан	462	949
Астраханская область	368	888
Вологодская область	399	831

2. Линейная регрессия

Уравнение линейной регрессии выглядит следующим образом - ŷ=a+b∙x
	Потребительские	Денежные дохо-
№	расходы на	ды на душу
группы	душу населения,	населения,	x²	yx	ŷ
	тыс. руб	тыс. руб
	y	x
1	302	544	295936	164288	327,556
2	360	560	313600	201600	333,6956
3	310	545	297025	168950	327,9397
4	415	672	451584	278880	376,6727
5	452	796	633616	359792	424,2544
6	502	777	603729	390054	416,9637
7	355	632	399424	224360	361,3237
8	416	688	473344	286208	382,8122
9	501	833	693889	417333	438,4522
10	403	577	332929	232531	340,2189
11	208	584	341056	121472	342,905
12	462	949	900601	438438	482,9642
13	368	888	788544	326784	459,557
14	399	831	690561	331569	437,6848
Сумма	5453	9876	7215838	3942259
Среднее	389,5	705,4285714	515417	281589,93

Опираясь на данные таблицы, получим следующие значения параметров:
cov(y,x)=yx-y∙x=		6825,5
σ²_x=x²-x²=		17787,5306
b=cov(x,y)/σ²_x=		0,3837
	a=ỹ-b∙x=	118,8102
Таким образом, уравнение парной регрессии будет выглядеть следующим образом:
		ŷ=118,8102+0,3837 ∙x
При снижении денежного дохода на одну тыс. руб, потребительские расходы уменьшаются
в среднем на 0,3837 тыс. руб.

Степенная регрессия:
Уравнение степенной регрессии выглядит следующим образом - ŷ=a∙x^b
Для определения параметров а и b необходимо линеаризировать его. Для этого доста-
точно правую и левую части уравнения прологарифмировать:
		lgŷ=lga+b∙lgx
Обозначим через ŷ^=lgŷ, a^=lga, x^*=lgx. Тогда имеем
		ŷ^=a^+b∙x^*
	Потребительские		Денежные дохо-
№	расходы на		ды на душу
группы	душу населения,		населения,	y*=lg(y)	x*=lg(x)	x*²	yx	ŷ=a∙x^b
	тыс. руб		тыс. руб
	y		x
1	302		544	2,4800	2,7356	7,4835	6,7843	315,7399
2	360		560	2,5563	2,7482	7,5525	7,0252	322,8746
3	310		545	2,4914	2,7364	7,4879	6,8174	316,1873
4	415		672	2,6180	2,8274	7,9940	7,4022	371,5957
5	452		796	2,6551	2,9009	8,4153	7,7023	423,4108
6	502		777	2,7007	2,8904	8,3545	7,8062	415,5986
7	355		632	2,5502	2,8007	7,8440	7,1425	354,4262
8	416		688	2,6191	2,8376	8,0519	7,4319	378,3974
9	501		833	2,6998	2,9206	8,5302	7,8853	438,5027
10	403		577	2,6053	2,7612	7,6241	7,1937	330,4041
11	208		584	2,3181	2,7664	7,6530	6,4127	333,4897
12	462		949	2,6646	2,9773	8,8641	7,9333	484,8626
13	368		888	2,5658	2,9484	8,6931	7,5652	460,6565
14	399		831	2,6010	2,9196	8,5241	7,5938	437,6909
Сумма	5453		9876	36,1256	39,7707	113,0723	102,6959
Среднее	389,5		705,4286	2,5804	2,8408	8,0766	7,3354

b=(y*x*-y*∙x*)/(x*²-x*²)= 0,7708

a^*=y*-b∙x*= 0,3906

a=10^a*=2,4581

Таким образом, уравнение степенной регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=2,4580∙x^0,7708

При снижении денежного дохода на 1%, потребительские расходы снижаются в среднем на 0,7708%.

Логарифмическая регрессия:

Уравнение нелинейной логарифмической регрессии представлено следующим уравнением:

ŷ=a+b∙lgx

Для определения параметров a и b необходимо представить уравнение логарифмической регрессии в виде ŷ=a+b∙x*, введя обозначение x*=lgx

	Потребительские	Денежные дохо-
№	расходы на	ды на душу
группы	душу населения,	населения,	x^*=lg(x)	x^*2	yx*	ŷ
	тыс. руб	тыс. руб
	y	x
1	302	544	2,7356	7,4835	826,1509	321,4946
2	360	560	2,7482	7,5525	989,3477	329,6353
3	310	545	2,7364	7,4879	848,2829	322,0103
4	415	672	2,8274	7,9940	1173,3582	380,8378
5	452	796	2,9009	8,4153	1311,2127	428,3949
6	502	777	2,8904	8,3545	1450,9914	421,6102
7	355	632	2,8007	7,8440	994,2546	363,6032
8	416	688	2,8376	8,0519	1180,4368	387,4461
9	501	833	2,9206	8,5302	1463,2431	441,1545
10	403	577	2,7612	7,6241	1112,7539	338,0339
11	208	584	2,7664	7,6530	575,4139	341,4204
12	462	949	2,9773	8,8641	1375,4970	477,7686
13	368	888	2,9484	8,6931	1085,0160	459,1107
14	399	831	2,9196	8,5241	1164,9208	440,4795
Сумма	5453	9876	39,77071	113,0723	15550,88
Среднее	389,5	705,4286	2,8408	8,0766	1110,777

b=(yx*-yx*)/(x*²-x*2)= 646,6496

a=y-b∙x*= -1447,4792

Таким образом, уравнение логарифмической регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=-1447,4792+646,6495∙lgx

Показательная регресия:

Уравнение нелинейной показательной регрессии представлено следующим уравнением:

ŷ=a∙b^x

Для определения параметров а и b необходимо линеаризировать его. Для этого достаточно правую и левую части уравнения прологарифмировать:

lgŷ=lga+x∙lgb

Обозначим через ŷ*=lgŷ, a*=lga, b*=lgb. Тогда имеем ŷ*=a*+x∙b*

	Потребительские	Денежные дохо-
№	расходы на	ды на душу
группы	душу населения,	населения,	y*=lg(y)	xy*	x²	ŷ
	тыс. руб	тыс. руб
	y	x
1	302	544	2,4800	1349,1238	295936	320,996
2	360	560	2,5563	1431,5294	313600	326,4554
3	310	545	2,4914	1357,7921	297025	321,3345
4	415	672	2,6180	1759,3283	451584	367,3618
5	452	796	2,6551	2113,4902	633616	418,656
6	502	777	2,7007	2098,4468	603729	410,355
7	355	632	2,5502	1611,7443	399424	352,1951
8	416	688	2,6191	1801,9362	473344	373,6098
9	501	833	2,6998	2248,9648	693889	435,3061
10	403	577	2,6053	1503,2610	332929	332,3579
11	208	584	2,3181	1353,7490	341056	334,8192
12	462	949	2,6646	2528,7452	900601	491,9217
13	368	888	2,5658	2278,4729	788544	461,2879
14	399	831	2,6010	2161,4085	690561	434,3894
Сумма	5453	9876	36,1256	25597,9925	7215838
Среднее	389,5	705,4286	2,5804	1828,4280	515417

b=(xy-xy*)/(x²-x²)=	0,000457769	b=10^b*=	1,0010546
a=y-x∙b*=	2,257473325	a=10^a*=	180,91448

Таким образом, уравнение показательной регрессии будет иметь следующий вид:

ŷ=217,0121∙1,0009729^x

3.Коэффициенты корреляции

Линейная регрессия:

r_yx=cov(y,x)/σ_yσ_x=bσ^x/σ^y=(yx-y∙x)/σ_yσ_x

№ группы		Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб	Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб		x²	yx	y²
		y	x
1		302	544		295936	164288	91204
2		360	560		313600	201600	129600
3		310	545		297025	168950	96100
4		415	672		451584	278880	172225
5		452	796		633616	359792	204304
6		502	777		603729	390054	252004
7		355	632		399424	224360	126025
8		416	688		473344	286208	173056
9		501	833		693889	417333	251001
10		403	577		332929	232531	162409
11		208	584		341056	121472	43264
12		462	949		900601	438438	213444
13		368	888		788544	326784	135424
14		399	831		690561	331569	159201
Сумма		5453	9876		7215838	3942259	2209261
Среднее		389,5	705,4285		515417	281589,93	157804,4
	σ_x=√x²-x²=			133,3699
	σ_y=√y²-ỹ²=			78,0648
	cov(y,x)=yx-y∙x=			6825,5
r_yx=cov(y,x)/σ_yσ_x=				0,6556

Степенная регрессия:

Индекс корреляции:

ρ_yx=√1-	σ²_е
	σ²_y

где σ²_e=e²-e²=e²=(∑(y*-ŷ*)²) / n

№ группы	Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб	Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб	y*=lg(y)	y*²	ŷ=lg(y)	e²=(y-ŷ)²
	y	x
1	302	544	2,4800	6,1504	2,4993	0,0004
2	360	560	2,5563	6,5347	2,5090	0,0022
3	310	545	2,4914	6,2069	2,4999	0,0001
4	415	672	2,6180	6,8542	2,5701	0,0023
5	452	796	2,6551	7,0498	2,6268	0,0008
6	502	777	2,7007	7,2938	2,6187	0,0067
7	355	632	2,5502	6,5037	2,5495	0,0000
8	416	688	2,6191	6,8596	2,5779	0,0017
9	501	833	2,6998	7,2891	2,6420	0,0033
10	403	577	2,6053	6,7876	2,5190	0,0074
11	208	584	2,3181	5,3734	2,5231	0,0420
12	462	949	2,6646	7,1003	2,6856	0,0004
13	368	888	2,5658	6,5836	2,6634	0,0095
14	399	831	2,6010	6,7651	2,6412	0,0016
Сумма	5453	9876	36,1256	93,3522	36,1256	0,0786
Среднее	389,5	705,4286	2,5804	6,6680	2,5804	0,0056

σ²_y=y*²-y*²= 0,009564918

σ²_e=e²-e²=e²=(∑(y*-ŷ*)²) / n= 0,005614304

ρ_yx= 0,642675405

Логарифмическая регрессия:

Значение коэффициента корреляции расчитаем по формуле:

r_xy=b∙σ_x/σ_y

	Потребительские	Денежные дохо-
№	расходы на	ды на душу
группы	душу населения,	населения,	x^*=lg(x)	x^*2	y²
	тыс. руб	тыс. руб
	y	x
1	302	544	2,7356	7,4835	91204
2	360	560	2,7482	7,5525	129600
3	310	545	2,7364	7,4879	96100
4	415	672	2,8274	7,9940	172225
5	452	796	2,9009	8,4153	204304
6	502	777	2,8904	8,3545	252004
7	355	632	2,8007	7,8440	126025
8	416	688	2,8376	8,0519	173056
9	501	833	2,9206	8,5302	251001
10	403	577	2,7612	7,6241	162409
11	208	584	2,7664	7,6530	43264
12	462	949	2,9773	8,8641	213444
13	368	888	2,9484	8,6931	135424
14	399	831	2,9196	8,5241	159201
Сумма	5453	9876	39,7707	113,0723	2209261
Среднее	389,5	705,4286	2,8408	8,0766	157804,4

σ_x=√x*²-x*²= 0,081538488

σ_y=√y²-ỹ²= 78,06476249

Коэффициент регрессии b=646,6495 расчитан ранее.

r_xy=b∙σ_x/σ_y= 0,675424165

Показательная регрессия:

Для показательной регрессии расчитываем индекс корреляции, т. к. преобразования затрагивают y непосредственно.

группы	Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб	Денежные дохо ды на душу населения, тыс. руб	y*=lg(y)	y*²	ŷ=lg(y)	e²=(y-ŷ)²
	y	x
1	302	544	2,4800	6,1504	2,5065	0,0007
2	360	560	2,5563	6,5347	2,5138	0,0018
3	310	545	2,4914	6,2069	2,5070	0,0002
4	415	672	2,6180	6,8542	2,5651	0,0028
5	452	796	2,6551	7,0498	2,6219	0,0011
6	502	777	2,7007	7,2938	2,6132	0,0077
7	355	632	2,5502	6,5037	2,5468	0,0000
8	416	688	2,6191	6,8596	2,5724	0,0022
9	501	833	2,6998	7,2891	2,6388	0,0037
10	403	577	2,6053	6,7876	2,5216	0,0070
11	208	584	2,3181	5,3734	2,5248	0,0427
12	462	949	2,6646	7,1003	2,6919	0,0007
13	368	888	2,5658	6,5836	2,6640	0,0096
14	399	831	2,6010	6,7651	2,6379	0,0014
Сумма	5453	9876	36,1256	93,3522	36,1256	0,0817
Среднее	389,5	705,4286	2,5804	6,6680	2,5804	0,0058

σ²_y=y*²-y*²= 0,009565

σ²_e=e²-e²=e²=∑(y*-ŷ*)²= 0,005837

_Ryx= 0,624257

Все четыре полученные значения коэффициента и индекса корреляции попадают в интервал [0,8;0,95], что свидетельствует об очень тесной связи потребительских расходов от величины денежного дохода на душу населения.

Коэффициент детерминации

R²=r²=ρ²

Для линейной регрессии:

R²=r²= 0,4298

Для степенной регрессии:

R²=r²= 0,4130

Для логарифмической регрессии:

R²=r²= 0,4562

Для показательной регрессии:

R²=r²= 0,3897

4.Оценка значимости уравнения регрессии

Определим значение F_факт:

для линейной регрессии:

F_факт=R²(n-2)/(1-R²)= 9,0444

для степенной регрессии:

F_факт=R²(n-2)/(1-R²)= 8,4440

для логарифмической регрессии:

F_факт=R²(n-2)/(1-R²)= 10,0668

для показательной регрессии:

F_факт=R²(n-2)/(1-R²)= 7,6624

Определим по таблице F_табл при уровне значимости α=0,05, одной независимой переменной и 12 степенях свободы: F_табл=4,75

Как мы видим, все четыре полученных нами уравнения регрессий являются статистически значимыми поскольку во всех случаях F_факт>F_табл.

5. Расчитаем прогнозное значение результата для степенной регрессии, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего значения.

x_о=x_ср+10%=705,4285+10%= 761,8629

Используя уравнение степенной регрессии ŷ=2,4580∙x^0,7708, найдем

Информация о работе

ВУЗ:

Комсомольский-на-Амуре Государственный Технический Университет (КнАГТУ)

Предмет:

Эконометрика

Тип:

Расчетно-графические работы

Категория:

Экономика и менеджмент (Общественные предметы)

Размер файла:

310 Kb

Скачали:

Скачать файл

Построение поля корреляции и формулировка гипотезы о форме связи. Расчет параметров уравнений парных регрессий

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Похожие материалы

Информация о работе