Динамическая модель рынка (Модель К.Эрроу и Л.Гурвица)

                                   Динамическая модель рынка

         Динамическая модель рынка отличается от ранее рассмотренных статических разомкнутых моделей равновесия  тем, что цены не являются  постоянными и заданными. Модель  замыкается,  и цена, как управление, определяется состоянием системы, т.е. спросом на то или иное благо на рынке. В такой модели устанавливается движение цен от некоторых начальных, не соответствующих условиям равновесия рынка, к равновесным ценам, при которых и происходит обмен товарами или услугами. Существует несколько разных динамических моделей рынка. Рассмотрим модель, предложенную К.Эрроу и Л.Гурвицем.

Эрроу и Гурвиц ставили задачу следующим образом.

Группа людей приходит на рынок торговать, каждый торговец приходит со своим товаром. Торговцы договариваются о следующей процедуре, Они выбирают начальную цену каждого типа товаров. Затем каждый вычисляет в этих ценах стоимость своего запаса товаров, т.е. условно говоря, определяет количество денег, которое он может истратить на покупку  другого товара. Далее каждый к-й торговец выбирает при этих ценах и своих деньгах желаемый вектор потребления x и  сообщает свое решение некоторому гипотетическому "секретарю рынка". Этот "секретарь" вычисляет общий спрос, а также общее предложение на рынке. Если общий спрос и предложение совпадают, то "секретарь" указывает на это совпадение участникам рынка, и они производят обмен своими товарами по принятым ценам. Конечно, вероятность такого совпадения очень мала, чаще всего общий спрос и предложение не совпадают: каких-то товаров надо больше, а других меньше. Поэтому "секретарь" подымает цены на товары, которых мало, и опускает цены на товары, которых много, затем сообщает свое решение участникам рынка. Торговцы снова пересчитывают свой товар уже в новых, предложенных "секретарем" ценах, и снова сообщают  новый вектор  потребления. Этот процесс продолжается до тех пор, пока спрос не совпадет с предложением. В этот момент цены устанавливаются равновесными, происходит обмен.

Термин  "секретарь рынка" придумал Х.Удзава. С точки зрения теории управления  "секретарь рынка" является  алгебраическим сумматором, замыкающим рынок обратной связью и вырабатывающим сигнал ошибки.

Математическая постановка задачи

Так как цены не постоянны, то, строго говоря, вектор цен необходимо записывать как функцию времени  p = p(t). Кривая изменения цен во времени является решением некоторого дифференциального уравнения.  Для определения этого уравнения рассмотрим рынок с m-штук торговцами и n-штук товарами. При открытии рынка каждый продавец владеет своим вектором yk, причем эта величина остается постоянной и не меняется до установления равновесной цены, т.е. до обмена товарами.

Первое условие модели, которое должно выполняться: стоимость желаемых товаров для каждого продавца равна стоимости имеющихся товаров, т.е.

  для  k=1,2,3,...m.                  (1)

Каждый участник рынка имеет свою функцию  полезности .                                                   

Обратим внимание, что вектор  можно рассматривать как вектор производства, а произведение  может трактоваться как доход потребителя:  и уравнение  (1) может быть записано как бюджетные ограничения : . Тем самым объединяются теория потребления и производства в одной модели, только вектор x называется обычно вектором спроса, а вектор y - вектором предложения.

Рассмотрим механизм формирования цен.  Для этого введем вектор избыточного спроса рынка:

                                                               (2)

Мерность вектора z равняется количеству разных типов товаров, предлагаемых к обмену на рынке, т.е. n.  Если какая-то координата вектора  , то спрос на  превышает предложение , если , - то наоборот.

Простейшее возможное предложение о характере изменения цен следующее:

скорость изменения цен пропорциональна избыточному спросу  или просторавна избыточному спросу

 , i =1,2,..n                              (3)

Часто система уравнений (3) записывается в векторной форме

                                                 (3`)

Кроме того, сделаем несколько предположений о функции z = z(p).  Предположим, что z(p) - непрерывная функция  p .                                                        (4)

Условие (4) вытекает из непрерывности функции полезности S(x). В противном случае не существовало бы прозводной в уравнениях (3).

                                                (5)

и  если  , то                                                                 (6)

Условие (5) отмечает тот факт, что умножение цены на некоторую константу с=Const все равно оставляет за этим числом понятие цены. Цена относительна, важно лишь соотношение цен. Например,  пусть , тогда  и можно записать, что . 

Условие (6) означает, что если цена какого-то товара равна 0, то спрос на него все равно будет выше предложения.

Теперь необходимо определить, как будут изменяться цены, если выполняются принятые предложения (1) - (6).

Определение. Равновесной ценой или равновесным вектором цен называется такой вектор , при котором вектор избыточного спроса равен нулю. Действительно, если выполняется условие равновесия цен  , то из (3`) следует, что .