Динамическая модель рынка (Модель К.Эрроу и Л.Гурвица), страница 3

                                                             Рис.1.

Структура модели динамического рынка с двумя ценами и двумя участниками представлена на рис.1. Два экстремальных блока находят  максимумы функций полезности S1(x1)  и S2(x2), выдавая на выходы решения экстремальной задачи: составляющие векторов потребления: х11,х12 и х21,х22. На входы экстремальных блоков поступают бюджетные ограничения: R1 и R2, зависящие от цен. Два интегратора формируют цены на первый и второй товары, на каждом из интеграторов устанавливают начальные условия, соответствующие ценам открытия рынка. На входы интеграторов поступают соответствующие координаты вектора z-  вектора избыточного спроса или предложения (в зависимости от знака). На вход рынка поступают предложения  товаров от первого и второго участников рынка в виде соответствующих координат вектора y.   

Задача анализа такой системы достаточно сложна. Однако можно использовать то свойство, что , т.е. вектор избыточного спроса или предложения зависит только от соотношения между ценами. Введем новую переменную , тогда координата вектора z, например z2,  будет зависеть от переменной r, т.е. можно записать, что z2 = f(r), где f(r)- некоторая функция от r. Запишем  закон Вальраса для случая  двух цен: . Подставляя в это уравнение z2 = f(r) и деля его левую и правую  части на , получаем выражение для другой координаты вектора z:

. Запишем дифференциальное уравнение для переменной r, взяв производную

Кроме того, учтем, что  или  и

. Тогда

.  Получаем нелинейное дифференциальное уравнение относительно одной переменной r.

Для анализа этого уравнения необходимо найти математическую зависимость f=f(r). Для этого надо задать конкретный вид зависимостей функций полезности участников рынка от их векторов спроса. Пусть первый участник рынка имеет функцию полезности   S1 = x11∙x12,  а второй S2 = x21² ∙x22, а  начальные запасы товаров y11 = 10, y12 = 15, y21 = 30, y22 = 15. Цены открытия рынка р1(0) = 3, р2(0) = 4.

Ранее мы приняли, что f(r) = z2(p).  Поэтому найдем, чему равняется z2(r).  Сначала определим z2 . С учетом нашим обозначений - это вторая координата вектора избыточного спроса (или предложения), которая равна

z2 = x12+x22-y12-y22 = x12+x22 -15-15= x12+x22-30

Следовательно. необходимо определить, как зависят от r координаты x12 и x22. Возьмем уравнение бюджетных ограничений  для первого участника рынка:

p1∙x11+р2∙x12= p1∙y11+р2∙y12

и подставим в него цену р2, выраженную через р1, т.е.  р2 = r∙р1. Получаем

p1∙x11+ r∙р1∙x12= p1∙y11+ r∙р1∙y12.

Сокращая левую и правую части на р1, получаем

x11+ r∙x12= y11+ r∙y12.

Отсюда находим зависимость x11 от r:

x11= y11+ r∙y12- r∙x12.

Подставляя это соотношение в первую функцию полезности, получаем

S1 = (y11+ r∙y12- r∙x12)∙x12.

Максимизируем функцию полезности, т.е. найдем производную и приравняем нулю:

.

Отсюда находим  x12:

.

Возьмем второе уравнение бюджетных ограничений (для второго участника):

p1∙x21+р2∙x22= p1∙y21+р2∙y22

и аналогично подставим в него цену р2, выраженную через р1, т.е.  р2 = r∙р1. Получаем

p1∙x21+ r∙р1∙x22= p1∙y21+ r∙р1∙y22.

Сокращая левую и правую части на р1, получаем х21+ r∙x22= y21+ r∙y22.

Отсюда находим зависимость x21 от r:

х21= y21+ r∙y22- r∙x22.

Подставляя это соотношение во вторую  функцию полезности, получаем

S2 = (y21+ r∙y22- r∙x22)²∙x22.

Максимизируем функцию полезности, т.е. найдем производную и приравняем нулю:

.

Выносим за скобку общий множитель:

(y21 +ry22-rx22)(-2rx22+ y21 +ry22-rx22)=0.