Расчет прямых стержней на прочность. Изгиб с кручением

 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Сопротивление материалов»

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине

«СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ»

(за III семестр 2011-2012 уч.года)

по теме:

«Расчёт прямых стержней на прочность»

Вариант Х-Х-Х

Выполнил: ст.гр.  

Проверил:

Омск – 2011

 Задача №1

Растяжение - сжатие

Уравнение продольной силы:

N(z)=N(0)│_I – q(z-0.6)│_II + P₂│_III + q(z-2)│_IV

Г.У.: N(0)=P₁

Построение эпюр осуществляется по участкам

Условие прочности: σ ≤ [σ],где , → =0.0221 м

Из нормального ряда выбираем значение а=24 мм

Опасное сечение z=1,4 м

Нормальные напряжения для выбранного стержня в опасном сечении будут равны:

=-103,5 МПа

Т.к. N_max < 0, схема нагружения – сжатие , при  котором  σ_max=σ ₃ ,  а σ₂=σ ₁ =0, следовательно, возникает одноосное (линейное) напряжённое состояние.

Наибольшее касательное напряжение будет действовать в сечении, расположенном под углом 45º к максимальным нормальным напряжениям и определяются по формуле:

-51,75 МПа

Нормальные напряжения в этом сечении будут равны:

-51,75 МПа

Главные линейные деформации будут определяться из закона Гука:

-0,0005175

0,00015525

где  Е=2·10¹¹Па – модуль Юнга

μ=0,3 – коэффициент Пуассона

Размер сечения после деформации: а₁=а(1+ε₂)=24,003726 мм

Задача №2

Кручение

Уравнение крутящего момента:

M_к(z)=М_к(0)│_I + m(z-0,4)│_II + L₁│_III + L₂│_IV

Г.У.: M_к(l)= 0  →  M_к(0)=-5.04 кН·м

Построение эпюр осуществляется по участкам.

По теории наибольших касательных напряжений:. Касательные напряжения, которые возникают при кручении, определяются по формуле:, (где Wρ – полярный момент сопротивления). Таким образом, для данного стержня можно определить: =0.000083 м³

Для круглого сечения:

=0,0744 м

Из нормального ряда выбираем значение d_кр=75 мм

Для кольцевого сечения:

=0,0816 м

d=α·D=0,0571 м

Из нормального ряда выбираем значение D=82мм , d=56 мм

Массу выбранных стержней оценим по их площадям:

0,00441 м²                  0,00281 м²

Т.к. F_кр > F_кол, следовательно, m_кр > m_кол.

При кручении возникает двухосное напряжённое состояние, т.е.  σ_1,3=±τ,  а σ₂=0.

Касательные напряжения определим по формуле:

=59,7 МПа

Направление главных напряжений определим через тангенсы углов

tg α₁=σ₁/τ=τ/τ=1,  →α₁=45°

tg α₃=σ₃/τ=-τ/τ=-1,  →α₃=-45°

Задача №3

Поперечный изгиб

Выписываем из таблиц прокатного сортамента необходимые данные для фигур, составляющих поперечное сечение:

Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х₁Y₁.

x_c===0

y_c====5 см где    x₁=0, x₂=9.77 см, х₃=-9.77 см;

y₁=0, y₂=8.43см, y₃=8.43 см.

Отмеряя в осях Х₁Y₁ координаты (0;y_c) находим положение центра тяжести всего сечения. Для определения центральных осевых моментов определим координаты центров тяжести фигур №1,2,3 в системе осей Х_сY_с:

а₁=у_с=5 см,  а_2,3=у₂ – у_с=3.43 см

b₁=х_с=0 см,  b₂=9.77 см,   b₃=-9.77 см

Используя формулы преобразования при параллельном переносе осей получаем:

J_xc==(J_x1+a₁²F₁)+(J_x2+a₂²F₂)+(J_x3+a₃²F₃)=(J_x1+a₁²F₁)+2(J_x2+a₂²F₂)=1131см⁴             

J_yc==(J_y1+b₁²F₁)+(J_y2+b₂²F₂)+(J_y3+b₃²F₃)=J_y1+2(J_y2+b₂²F₂)=2216 см⁴

Уравнение поперечных сил:

Q_y(z)=Q_y(0) – qz│_I + P₁│_II,III + P₂│_IV + q(z-1)│_V

Уравнение изгибающих моментов:

M_x(z)=M_x(0) + Q_y(0)z – qz²/2│_I + P₁(z-0.2)│_II + L│_III + + P₂(z-0.8)│_IV + q(z-1)²/2│_V

Qy(z), кН

Г.У.: M_x(0)=0       M_x(l)=0       →  Q_y(0)=6.2 кН

Построение эпюр осуществляется по участкам.

Опасное сечение: z= 0.67 м

Mx(z), кН·м

Уравнение нулевой линии в случае поперечного изгиба совпадает с осью Х_с, следовательно, координаты крайних точек опасного поперечного сечения будут равны: у_a=10 см, у_в=11 см

Нормальные напряжения в этих точках определим по следующим формулам: 

=28,3 МПа

               =31,1 МПа

Наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении, где действует Q_{у max}, будут действовать на нулевой линии. Определим  их по формуле Журавского:

5.2 МПа где    Q_{y max} – максимальная поперечная сила, Q_{y max} =6.2 кН

b – ширина отсекаемой части, b=4.8 мм

J_хс – главный центральный момент инерции, относительно оси Х_с, J_хс=1131 см⁴

S_х^* – статический момент отсечённой части (определяется из чертежа)

S_х^* = S_хI^* +S_хII^* =S_x + F·y_c=33.7 + 0.48·5²=45.7 см³

Из исходных данных [σ]=135 МПа

Т.к.  [σ] ≥ σ_а,в; τ_max  – условие прочности выполняется

Задача №4

Растяжение с изгибом

Вычислим геометрические характеристики поперечного сечения стержня: