Расчет прямых стержней на прочность. Изгиб с кручением, страница 2

Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х₁Y₁.

x_c===2.4 см

y_c===-5.3 см где x₁=0, x₂=5.63 см; y₁=0, y₂=-12.57см.

Отмеряя в осях Х₁Y₁ координаты (х_с;y_c) находим положение центра тяжести всего сечения. Для определения центральных осевых моментов и центробежного момента инерции сечения определим координаты центров тяжести фигур №1 и №2 в системе осей Х_сY_с:

а₁= у_с=5.3 см,  а₂=у₂ – у_с=-7.27 см;

b₁= х_с=-2.4 см,  b₂=x₂ – x_с=3.23 см.

Используя формулы преобразования при параллельном переносе осей получаем:

J_xc=(J_x1+a₁²F₁)+(J_x2+a₂²F₂)=1405.3 см⁴             

J_yc=(J_y1+b₁²F₁)+(J_y2+b₂²F₂)=305.3 см⁴

J_xcyc=(J_x1y1+a₁b₁F₁)+(J_x2y2+a₂b₂F₂)=-387.9 см⁴

Вычислим главные моменты инерции по формуле:

J_1,2=0.5[(J_xc+J_yc)±]

Принимаем J₁=J_max=1528.3 см⁴,   J₂=J_min=182.3 см⁴

Определим  положение главных центральных осей Х_оУ_о по формулам:

tg α₁ (X_c,X_o)== 0.317  →   α₁=17.6º

tg α₂ (X_c,Y_o)==-3.152  →  α₂=-72.4º

Уравнение поперечных сил:

Q_y(z)=Q_y(0)│_I – P_y│_II,III

Уравнение изгибающих моментов:

M_x(z)=M_x(0) + Q_y(0)z│_I – P_y(z-0.3)│_II – L_x│_III

M_y(z)=M_y(0) – Q_z(0)z│_I – L_y│_II + P_x(z-0.7)│_III

Опасное сечение: z=0 м

Определим изгибающие моменты относительно главных осей инерции по формулам:

M_yо= M_yс·cos α + M_xс·sin α=10.2 кН·м 

α=17.6º

Уравнение нулевой линии при косом изгибе будет определяться следующим образом:

35.6x₀

Построим нулевую линию (прямую вида у=kх) в осях Х_оУ_о на чертеже поперечного сечения, определим положение опасных точек и замерим их координаты: А(6.81;-11.76),  В(-5.4;0.48)            [см]

Нормальные напряжения в этих точках определим по следующим формулам: 

-400 МПа

303 МПа

Из исходных данных [σ]=115 МПа

По условию прочности [σ] ≥ σ_а,в, т.к.  [σ] < σ_а,в  – условие прочности не выполняется.

Задача №6

Изгиб с кручением

Уравнение крутящего момента:

М_к(z)=М_к(0)│_I + L₁│_II-IV + L₂│_V

Уравнение поперечных сил:

Q_y(z)=Q_y(0)│_I + q(z-0.3)│_II – q(z-0.4)│_III + P₁│_IV

Уравнение изгибающих моментов:

M_x(z)=M_x(0) + Q_y(0)z│_I + q(z-0.3)²/2│_II –

Построение эпюр осуществляется по участкам.

Опасное сечение: z=0 м

Mх(z), кН·м

По теории наибольших касательных напряжений σ_экв=σ₁ – σ₃, где , получаем σ_экв=. Нормальные и касательные напряжения определяются по формулам , , следовательно, σ_экв=, а с учётом условия прочности состояния σ_экв ≤ [σ], получаем формулу для нахождения диаметра круглого поперечного сечения: =0,0568 м

Из нормального ряда выбираем значение d=58 мм

Для выбранного стержня определим величину  и направление главных напряжений в опасной точке. В опасной точке поперечного сечения

М_{x max}=0,78 кН·м , М_{к max}=-1,7 кН·м, следовательно,

40 МПа                   -43,6 МПа

Главные напряжения в этой точке будут равны:

68 МПа,

,

-28 МПа

Направление главных напряжений определим через тангенсы углов

-1,56  → α₁=-57,3º          0,64  → α₃=32,7º