Расчет прямых стержней на прочность. Изгиб с кручением, страница 2


Qy(z), кН

 
 


Г.У.: 


N(l)=0

Qy(l)=0

Mx(z), кН·м

 
Mx(l)=L

 
N(0)=1.73 кН

Qy(0)=0.36 кН

Mx(0)=0.19 кН·м


Построение эпюр осуществляется по участкам.

Опасное сечение: z=0.4 м

Уравнение нулевой линии в случае растяжения с изгибом имеет вид:

=-0.0025 м

Построим на чертеже поперечного сечения нулевую линию вида у=-3мм. Тогда, координаты крайних точек опасного поперечного сечения будут равны: уa=6.27 см,  ув=-5.73 см.

Нормальные напряжения в этих точках определим по следующим формулам: 

11.7 МПа

-9.8 МПа

Из исходных данных [σ]=115 МПа

Т.к.  [σ] ≥ σа,в  – условие прочности выполняется

Задача №5

Косой изгиб

Выписываем из таблиц прокатного сортамента необходимые данные для фигур, составляющих поперечное сечение:


Фигура №1

F1=14.7 см2

Jx1=350 см4

Jy1=27.9 см4

J x1y1=0

Фигура №2

F2=10.6 см2

Jx2=82.1 см4

Jy2=82.1 см4

J x2y2=48 см4


Для определения положения центра тяжести сечения выбираем вспомогательные оси Х1Y1.

xc===2.4 см

yc===-5.3 см где x1=0, x2=5.63 см; y1=0, y2=-12.57см.

Отмеряя в осях Х1Y1 координаты (хс;yc) находим положение центра тяжести всего сечения. Для определения центральных осевых моментов и центробежного момента инерции сечения определим координаты центров тяжести фигур №1 и №2 в системе осей ХсYс:

а1= ус=5.3 см,  а22 – ус=-7.27 см;

b1= хс=-2.4 см,  b2=x2 – xс=3.23 см.

Используя формулы преобразования при параллельном переносе осей получаем:

Jxc=(Jx1+a12F1)+(Jx2+a22F2)=1405.3 см4             

Jyc=(Jy1+b12F1)+(Jy2+b22F2)=305.3 см4

Jxcyc=(Jx1y1+a1b1F1)+(Jx2y2+a2b2F2)=-387.9 см4

Вычислим главные моменты инерции по формуле:

J1,2=0.5[(Jxc+Jyc]

Принимаем J1=Jmax=1528.3 см4,   J2=Jmin=182.3 см4

Определим  положение главных центральных осей ХоУо по формулам:

tg α1 (Xc,Xo)== 0.317  →   α1=17.6º

tg α2 (Xc,Yo)==-3.152  →  α2=-72.4º

Уравнение поперечных сил:

Qy(z)=Qy(0)│I – PyII,III

Qy(z), кН

 
Qx(z)=Qx(0)│I,II – PxIII

Уравнение изгибающих моментов:

Qy(z), кН

 

Qx(z), кН

 
 


Mx(z)=Mx(0) + Qy(0)z│I – Py(z-0.3)│II – LxIII

My(z)=My(0) – Qz(0)z│I – LyII + Px(z-0.7)│III

Qx(z), кН

 
 



Г.У.:


Qy(l)=0

Mx(z), кН·м

 
Qx(l)=0

Mx(z), кН·м

 
Mx(l)=0

My(l)=0

Qy(0)=5.2 кН

Qx(0)=5 кН

Mx(0)=-0.78 кН·м

My(0)=10.5 кН·м


My(z), кН·м

 
Построение эпюр осуществляется по участкам.

Опасное сечение: z=0 м

Определим изгибающие моменты относительно главных осей инерции по формулам:

Yc

 

Yo

 
Mxо= – Mxс·cos α + Myс·sin α=2.4 кН·м

Myо= Myс·cos α + Mxс·sin α=10.2 кН·м 

Myc

 

Xo

 
 


α

 

Xc

 
где     Mxс=0.78 кН·м,

Mxc

 
 Myс=10.5 кН·м,  

α=17.6º

Уравнение нулевой линии при косом изгибе будет определяться следующим образом:

35.6x0

Построим нулевую линию (прямую вида у=kх) в осях ХоУо на чертеже поперечного сечения, определим положение опасных точек и замерим их координаты: А(6.81;-11.76),  В(-5.4;0.48)            [см]

Нормальные напряжения в этих точках определим по следующим формулам: 

-400 МПа

303 МПа

Из исходных данных [σ]=115 МПа

По условию прочности [σ] ≥ σа,в, т.к.  [σ] < σа,в  – условие прочности не выполняется.

Задача №6

Изгиб с кручением

Уравнение крутящего момента:

Мк(z)=Мк(0)│I + L1II-IV + L2V

Уравнение поперечных сил:

Qy(z)=Qy(0)│I + q(z-0.3)│II – q(z-0.4)│III + P1IV

Уравнение изгибающих моментов:

Mx(z)=Mx(0) + Qy(0)z│I + q(z-0.3)2/2│II

Mк(z), кН·м

 
– q(z-0.4)2/2│III + P1(z-0.5)│IV


Г.У.: Mк(l)=0

Qy(l)=0

Qy(z), кН

 
Mx(l)=0

Mк(0)=-1.7 кН·м

Qy(0)=-2к Н

Mх(0)=0.78 кН·м


Построение эпюр осуществляется по участкам.

Опасное сечение: z=0 м

Mх(z), кН·м

 
По теории наибольших касательных напряжений σэкв1 – σ3, где , получаем σэкв=. Нормальные и касательные напряжения определяются по формулам , , следовательно, σэкв=, а с учётом условия прочности состояния σэкв ≤ [σ], получаем формулу для нахождения диаметра круглого поперечного сечения: =0,0568 м

Из нормального ряда выбираем значение d=58 мм

Для выбранного стержня определим величину  и направление главных напряжений в опасной точке. В опасной точке поперечного сечения

Мx max=0,78 кН·м , Мк max=-1,7 кН·м, следовательно,

40 МПа                   -43,6 МПа

Главные напряжения в этой точке будут равны:

68 МПа,

,

-28 МПа

Направление главных напряжений определим через тангенсы углов

-1,56  → α1=-57,3º          0,64  → α3=32,7º