Расчет прямых стержней на прочность: Методические указания по курсам «Сопротивление материалов» и «Прикладная механика»

Если известны статические моменты фигуры относительно некоторых осей XY, то можно определить координаты ее центра тяжести в этой системе координат следующим образом:

x_c = S_y/F,               y_c  = S_x/F.                                                           (1)

Для простых геометрических фигур геометрические характеристики относительно центральных осей и координаты их центров тяжести известны и приведены в справочниках.

Для некоторых прокатных профилей, встречающихся при выполнении работы, размеры и геометрические характеристики приведены в справочниках в зависимости от их номера.

Если известны моменты инерции фигуры относительно центральных осей, то для нахождения геометрических характеристик относительно осей, параллельных им, могут быть использованы следующие соотношения:

J_x = J_xc + a²F;            J_y = J_yc + b²F;          J_xy = J_xcyc + abF,                (2)

где  J_xc, J_yc, J_xcyc - моменты инерции относительно центральных осей,

J_x, J_y, J_xy  - моменты инерции относительно осей, параллельных                 центральным осям,                                                                                                

a, b – соответственно ордината и абсцисса центра тяжести фигуры в осях ХУ.

Конечной целью изучения интегральных характеристик плоских фигур является нахождение главных центральных моментов инерции, т.е. осевых моментов инерции относительно главных осей, начало которых совпадает с центром тяжести фигуры.

Если известны моменты инерции относительно некоторых центральных осей фигуры, то главные центральные моменты инерции определяются по формуле:

J_1,2 =[ J_хс + J_yc ± ]/2 .                                                (3)

Положение главных осей 1, 2 относительно центральных X_cY_c определяется по формулам:

tga₁ = (J_xc- J₁)/J_xcyc;                    tga₂ = (J_xc- J₂)/J_xcyc,                                     (4)

где   a₁ и  a₂ - углы между осью X_c и соответствующей главной осью.

Применительно к правой системе координат положительному значению угла соответствует поворот против часовой стрелки, отрицательному – по часовой стрелке.

В  случае, когда поперечное сечение имеет форму сложной фигуры, которую можно представить как совокупность нескольких простых фигур,  отыскание главных моментов инерции следует производить в следующем порядке:

1.  Разбить поперечное сечение на простые фигуры, для которых известны площадь, положение центра тяжести и моменты инерции относительно их центральных осей.

2.  Выбрать вспомогательные оси координат и вычислить координаты центра тяжести поперечного сечения

y_c = SF_iy_i/SF_i;                            x_c = SF_ix_i/SF_i, где  F_i - площадь простой фигуры, x_i, y_i – координаты центра тяжести этой фигуры во вспомогательной системе координат.

3.  Вычислить моменты инерции поперечного сечения относительно вспомогательных центральных осей X_c, Y_c

J_xc = S(J_xi + a_i² F_i);            J_yc = S(J_yi+ b_i² F);           J_xcyc = S(J_xiyi+a_ib_iF_i), где  J_xi, J_yi, J_xiyi – моменты инерции составляющих фигур относительно своих центральных осей.

4.  Найти главные центральные моменты инерции по формуле (3).

5.  Определить положение главных центральных осей путем поворота осей X_cY_c. Угол поворота определяется по формуле (4).

II. Интегральные характеристики напряжений в поперечных сечениях