Код программы для модифицированного и не модифицированного метода Ньютона

x=-9:9;

y=-9:9;

f1=sin(y+0.5)-x-1;

f2=y+cos(x-2);

plot(x,f1,x,f2);

grid on;

модифицированный метод (E = 0.01-для не модифицированного метода; E1=0.0001;-для модифицированного метода)

-1.43817(x,y) = (-0.137061,-0.52487)    |f1 - f2| = 0.0469158  d.x=0.0370609  d.

y=-0.0248702

-1.43044(x,y) = (-0.136012,-0.535939)    |f1 - f2| = 0.00863316  d.x=-0.00104867

  d.y=-0.0110687

-1.42892(x,y) = (-0.138763,-0.537)    |f1 - f2| = 0.00272782  d.x=0.00275041  d.

y=-0.00106113

-1.42844(x,y) = (-0.13847,-0.53777)    |f1 - f2| = 0.000453661  d.x=-0.000293048

  d.y=-0.000769578

Step count = 4

(x,y) = (-0.138708,-0.537793)    |f1 - f2| = 0.000177708  d.x=-0.000293048  d.y=

-0.000769578

(x,y) = (-0.138666,-0.537851)    |f1 - f2| = 2.16549e-005  d.x=-0.000293048  d.y

=-0.000769578

модифицированный метод (E = 0.1-для не модифицированного метода; E1=0.0001;-для модифицированного метода)

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

-1.43817(x,y) = (-0.137061,-0.52487)    |f1 - f2| = 0.0469158  d.x=0.0370609  d.

y=-0.0248702

Step count = 1

(x,y) = (-0.136005,-0.536014)    |f1 - f2| = 0.00871456  d.x=0.0370609  d.y=-0.0

248702

(x,y) = (-0.138786,-0.537009)    |f1 - f2| = 0.00268575  d.x=0.0370609  d.y=-0.0

248702

(x,y) = (-0.138467,-0.537776)    |f1 - f2| = 0.000435217  d.x=0.0370609  d.y=-0.

0248702

(x,y) = (-0.13871,-0.537793)    |f1 - f2| = 0.000175382  d.x=0.0370609  d.y=-0.0

248702

(x,y) = (-0.138666,-0.537852)    |f1 - f2| = 2.03085e-005  d.x=0.0370609  d.y=-0

.0248702

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

Немодифицированный метод:

(x,y) = (-0.137061,-0.52487)    |f1 - f2| = 0.0469158

(x,y) = (-0.136012,-0.535939)    |f1 - f2| = 0.00863316

(x,y) = (-0.138763,-0.537)    |f1 - f2| = 0.00272782

(x,y) = (-0.13847,-0.53777)    |f1 - f2| = 0.000453661

(x,y) = (-0.138708,-0.537793)    |f1 - f2| = 0.000177709

(x,y) = (-0.138666,-0.537851)    |f1 - f2| = 2.16604e-005

Step count = 6

Для продолжения нажмите любую клавишу . . .

Код программы для немодифицированного метода:

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

class Vector

{

public:

double x;

double y;

double norm() { return sqrt(x * x + y * y); }

Vector operator-(Vector b)

{

Vector result;

result.x = x - b.x;

result.y = y - b.y;

return result;

}

};

double detJ(Vector v) { return -1 + cos(v.y + 0.5) * sin(v.x - 2); }

double f1(Vector v) { return sin(v.y + 0.5) - v.x - 1; }

double f2(Vector v) { return v.y + cos(v.x - 2); }

Vector Func(Vector v)

{

Vector temp;

temp.x = (f1(v) * 1 + f2(v) * sin(v.x - 2)) / detJ(v);

temp.y = (-f1(v) * cos(v.y + 0.5) - f2(v) * 1) / detJ(v);

return temp;

}

int main()

{

Vector x = {0, 0};

Vector res = {-0.1,- 0.5};

const double E = 0.0001;

int step = 0;

while ((x - res).norm() > E)

{

x = res;

res = x - Func(x);

cout << "(x,y) = (" << res.x << "," << res.y << ")" << "    "

<< "|f1 - f2| = " << abs(f1(x) - f2(res)) << endl;

step++;

}

cout << "Step count = " << step << endl;

system("pause");

return 0;

}

Код программы для модифицированного метода:

#include <iostream>

#include <cmath>

using namespace std;

class Vector

{

public:

double x;

double y;

double norm() { return sqrt(x * x + y * y); }

Vector operator-(Vector b)

{

Vector result;

result.x = x - b.x;

result.y = y - b.y;

return result;

}

};

double detJ(Vector v) { return -1 + cos(v.y + 0.5) * sin(v.x - 2); }

\\Якобиан

double f1(Vector v) { return sin(v.y + 0.5) - v.x - 1; }

double f2(Vector v) { return v.y + cos(v.x - 2); }

Vector Func(Vector v)

\\считаем [F(x[k])’]  в минус первой умножить на F(x[k]) при непостоянном Якобиане

{

Vector temp;

temp.x = (f1(v) * 1 + f2(v) * sin(v.x - 2)) / detJ(v);

\\\\верхняя строчка матрицы [F(x[k])’]  в минус первой умножить на F(x[k])

temp.y = (-f1(v) * cos(v.y + 0.5) - f2(v) * 1) / detJ(v);

\\ нижняя строчка матрицы [F(x[k])’]  в минус первой умножить на F(x[k])

return temp;

}

Vector Func1(Vector v)

\\\\считаем [F(x[k])’]  в минус первой умножить на F(x[k]) при постоянном Якобиане

{

Vector temp;

temp.x = (f1(v) * 1 + f2(v) * sin(v.x - 2))/(-1.42844);

temp.y = (-f1(v) * cos(v.y + 0.5) - f2(v) * 1)/(-1.42844);

return temp;

}

int main()

{

Vector x = {0, 0};

Vector d;

Vector res = {-0.1, -0.5};

\\ выбираем начальное приближение, основываясь на графике, построеннои в матлабе

const double E = 0.001; до этой точности считаем немодифицированный метод

const double E1=0.0001; до этой точности считаем модифицированный метод

int step = 0;

while ((x - res).norm() > E)-цикл для немодифицированного метода

{

x = res;

res = x - Func(x);

d=Func(x);

cout<<detJ(res) << "(x,y) = (" << res.x << "," <<res.y << ")" << "    "

<< "|f1 - f2| = " << abs(f1(x) - f2(res)) <<"  "<<"d.x="<< d.x <<"  "<<"d.y="<<d.y<<endl;

step++;

}

Здесь d.x и d.y-верхняя и нижняя строчки Якобиана, выводим его , чтобы зафиксировать для последующих шагов.

cout << "Step count = " << step << endl;

//system("pause");

while ((x - res).norm() > E1) цикл для модифицированного метода

{

x = res;

res = x - Func1(x);

cout << "(x,y) = (" << res.x << "," << res.y << ")" << "    "

<< "|f1 - f2| = " << abs(f1(x) - f2(res)) <<"  "<<"d.x="<< d.x <<"  "<<"d.y="<<d.y<<endl;

step++;

}

system("pause");

return 0;

}

Как видно из ответов число шагов при использовании модифицированного и не модифицированного метода Ньютона не различается. Таким образом, в данном случае возможно использование модифицированного метода с первого шага, что упрощает процесс(не требует на каждом шаге вычислять заново Якобиан).

В данном примере чтобы локализовать корень был построен график в матлабе.(прилагается). За начальное приближение, был взят вектор: Vector res = {-0.1, -0.5}.