Алгоритм деления полиномиальных матриц

13. АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МАТРИЦ

Рассмотрим пару полиномиальных матриц R(s) и P(s), где R(s) (p * m) и P(s)  (m * m) несингулярная. Деление R(s) на P(s) справа определяет единственную пару полиномиальных матриц, называемых остатком (remainder)  и частным (quotient) :

                                                                              (1)

                                               (2)

с    строго правильной рациональной матрицей.

Основная цель этого раздела – представить алгоритм определения и  посредством выполнения операции умножения над вещественными матрицами. При этом желательно избежать операции обращения как в явном, так и в неявном виде.

Пусть  обозначает степень i-го столбца P(s) для :

                                                                             (3)

Далее мы полагаем, что P(s) столбцово правильная и что

                                                 (4)

При этих двух предположениях может быть найдено управляемое и наблюдаемое представление в пространстве состояний для преобразования Лапласа дифференциального оператора системы.

P(s)z(s)=u(s)                                                                  (5)

или, эквивалентно, минимальная реализация в пространстве состояний для матричной передаточной функции P^-1(s), где

                                                                    (6)

может быть определена посредством использования «структурной теоремы», что будет далее проиллюстрировано примером. Более точно, можно найти вещественные матрицы А и В в управляемой сопровождающей форме для многоканальных систем (multiinput controllable companion form) и соответствующую «выходную» матрицу С_I, которые определяют систему в пространстве состояний порядка , а именно:

                                         (7)

Здесь (7) эквивалентно (5) и реализует (6) в смысле, что если

                                           (8)

тогда

                                                      (9)

Подстановка z(s) из (6) в (9) дает

а из (7) следует, что

.

откуда

Ввиду того, что последнее равенство справедливо при , получаем

                                                     (10)

Здесь матрица  имеет размеры  Тогда С_Iможет быть определена как единственная  вещественная матрица (содержащая в каждой строке единственный ненулевой единичный элемент) такая, что

                                                                               (11)

Смысл (11) легко увидеть, если (10) умножить слева на С_Iи учесть (11):  Здесь слева представлено правое полиномиальное разложение передаточной функции . Тогда из (9) и (11) следует

                                                                         (12)

и тройке А, В и С_I , соответствующая описанию в пространстве состояний, действительно реализует P^-1(s), т.е.

                                                      (13)

Вернемся к соотношению

Матричная передаточная функция, представленная правым полиномиальным разложением , равна правой части последней формулы. Мы далее отметим, что  раз продифференцировав (12) и использовав (7), где  – некоторое еще не определенное целое, получим соотношение:

               (14)

                                                                         

Действительно:

,

В свете (5) и (9) и определений, связанных с каждой из матриц (14), мы сейчас имеем

                                          (15)

Из-за справедливости (15) для любых значений z(s) следует, что

                                                            (16)

Это соотношение ключевое в данной методике. Интересно отметить, что (16) получено из известного P(s) посредством выполнения одних лишь операций умножения над вещественными матрицами.

Если сейчас  определить как степень R(s), то будет ясно, что R(s) может быть выражена как произведение однозначно определенной вещественной  матрицы  и матрицы , т.е.

                                                                                          (17)

Умножив (16) слева на , получим

                                           (18)

Мы, наконец, отметим, что, так как столбцовая степень  меньше, чем столбцовая степень правильной P(s), т.е. что

                                          (19)

матрица  будет строго правильной рациональной матрицей. Отсюда следует, что  должно соответствовать единственной полиномиальной матрице , определенной (1) и (2), т.е.

                                                                        (20)

что с учетом  (18) дает

                                                                (21)

Определение  и  из (20) и  (21) представляет алгоритм вычисления такой единственной пары посредством выполнения одних умножений с использованием P(s), которая:

1)  столбцово правильная;

2)  не имеет нулевых столбцовых степеней.

Может быть показано, что если какое-либо из этих условий нарушено, то посредством умножения справа матрицы  P(s) на подходящим образом выбранную несингулярную полиномиальную матрицу H(s) можем получить, что P(s)H(s) будет удовлетворять как п.1, так и п.2. Далее, если R(s)H(s) затем разделить на P(s)H(s), используя приведенный выше алгоритм, частное будет равно желаемому частному, в то же время умножение справа полученного остатка на P^-1(s) дает желаемый остаток, что несложно проверить.

П р и м е р. Проиллюстрируем алгоритм, рассмотрев пару полиномиальных матриц

Так как P(s) столбцово приведенная с  и , то

Сейчас может быть использована «структурная теорема»для получения управляемого представления в пространстве состояний, а именно

которые удовлетворяют (10). Матрица C_I определяется единственным образом из (11):

Действительно, из (11) :

Здесь звездочками помечены элементы матрицы C_I, которые подлежат определению.

П р и м е ч а н и е. Для определения матриц А, В, С можно воспользоваться процедурой, изложенной в МПФ $18 (обозначения оттуда же). Воспользуемся правым полиномиальным разложением  известной передаточной матричной функции  Из P(s) определяем:

Из уравнения

найдем :

Кстати, из  (– единичная матрица) несложно найти .

Развернем уравнение :

откуда

Так как  :

то   что позволяет преобразовать дифференциальные уравнения относительно  к виду

Матрицы А, В найдены.  ▄

Матрицы   и  , определенные в (14), можно вычислить, используя тройку (А, В, С) с , т.е. в данном примере

 

и

В свете (17) ( найдем  :

из уравнения

Тогда

и