Приведение скалярной передаточной функции к взаимо промтому виду

11.  ПРИВЕДЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ К ВЗАИМО ПРОМТОМУ ВИДУ

Пусть  некоторая передаточная функция, которую запишем в виде

                                         ,                                              (1)

где  и  комплексные константы с ,  и  - неотрицательные целые,  некоторое целое. Задача состоит в определении коэффициентов , таких, что

                                         ,                                             (2)

где  и  взаимно простые. Алгоритм включает в себя пять шагов.

Шаг 1. Предположим, что . Тогда мы запишем так называемую би-теплицеву матрицу (bi-Toeplitz matrix)  размерами  следующим образом:

         

           

Если , достаточно перейти к рассмотрению обратной передаточной функции, т.е. поменять местами  и . Таким образом, мы всегда сформируем матрицу  такую, что ширина блока  будет меньше ширины блока .

Шаг 2. Используем строчные операции над  с целью преобразования ее к виду  со следующей формой:

             

где  единичная матрица размером  (единичный блок),  нулевой блок размером , и  блок. Так как   теплицева матрица и все ведущие элементы равны единице (элемент на диагонали блока  матрицы ), эта процедура не вызывает затруднений.

Шаг 3. Определим ранг . Если  имеет полный ранг, то вычисления окончены. Передаточная функция , заданная (1), уже несократима. Если  неполного ранга, тогда удаляем последний столбец из  и две последние строки из , в результате чего получаем где  блок размером .

Шаг 4. Проверим ранг . Если  имеет полный ранг, тогда продолжим строчные операции над  с целью получения

и заключаем, что

, 

Если  неполного ранга, тогда удаляем последний столбец , последний столбец  и две последние строки , получая

следующего вида:

где блок.

Шаг 5. Повторим процедуру шага 4 k-раз, до тех пор, пока не получим матрицу  размерами

Окончательный результат следующий:

,  ,

  ■

Пример. Рассмотрим заданную передаточную функцию

, где . Положим

.

Используя строчные операции для упрощения матрицы , получим

                                       

Так как матрица  сингулярная (сумма трех столбцов равна нулю), удаляем четвертый и восьмой столбцы и две последние строки  и получаем

                                

Легко увидеть, что матрица  сингулярная, и таким образом мы должны удалить третий и шестой столбцы и две последние строки , получив

.

Но сейчас матрица  имеет полный ранг, и таким образом мы, продолжив строчные операции над , получим

.

Возможная последовательность преобразований:

Окончательный результат следующий:

,  ,  ,  , 

и

 ■

Обоснование алгоритма. Пусть  будет соответствовать приведенной (сокращенной) форме , заданной (1), где

,  .

Тогда имеем  и  или эквивалентно

Перемножая левую часть приведенного выше равенства и приравнивая коэффициенты при равных степенях , где , , получим в случае

. . . . .

. . . . .

 

. . . . .

. . . . .

.

Эта система уравнений имеет следующую матричную форму:

.

Где  задается

      

,

    

которая получена из  удалением последних  столбцов из , последних  столбцов из  (где ) и последних  строк .