Вычисление определённого интеграла от функции f(x) на отрезке методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса

Страницы работы

4 страницы (Word-файл)

Содержание работы

Лабораторная работа №6

Вычисление определённых интегралов

Задание: вычислить определённый интеграл от функции f(x) на отрезке  методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса (n=8). Определить минимально необходимое число разбиений n отрезка  для вычисления интеграла с заданной точностью методами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Порядок выполнения задания:

1)  составить программное обеспечение: подпрограммы вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса; подпрограмму-функцию для вычисления значений f(x);

2)  составить головную программу для исследования точности вычисления интеграла разными методами;

3)  выбрать исходные данные и провести счёт;

Метод прямоугольников.

            На каждом промежутке  функция y=f(x) заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка, построенным по значению функции в средней точке xi+h/2. Применяя формулу прямоугольников к каждому промежутку и суммируя, получим

I=h*+R(f)

где R(f) – остаточный член, который не используется в вычислениях, но по которому можно судить о точности применяемой формулы. Для метода прямоугольников R(f)=h2*(b-a)*f’’(t)/24, f’’(t) – значение второй производной f(x) в точке x=t, где она максимальна.

Метод трапеций.

Метод трапеций заключается в линейном аппроксизме f(x) на промежутке [xi,xi+1]. С учётом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщённая формула принимает вид:

I=h*{+}-R(f),

где R(f)=h2*(b-a)*f¢¢(t)/12

Метод Симпсона (парабол):

Метод Симпсона является частным случаем метода Ньютона-Котеса. Последний основан на интерполяции f(x) в m промежутках (т.е. на участке [xi,xi+m]) полиномом Лагранжа. При этом f(x) должна задаваться (m+1) ординатами. Формулы интегрирования точны, если f(x)-многочлен m-ой степени. При m=1 получаем метод трапеций, при m=2-метод Симпсона. Интеграл от xi до xi+2 от полинома Лагранжа, проходящего через точки (xi,f(x)),(xi+1,f(xi+1)),(xi+2,f(xi+2)),равен

[f(xi+4*f(xi+1)+f(xi+2)]*h/3.)                     

При суммировании получим обобщённую формулу Симпсона:

I=*{f(a)+f(b)+4*+2*}-R(f), где R(f)=n*h5*f¢(t)/90. Формулу можно представить в следующем виде:

I=h/3*{f(a)+f(b)+}-R(f)

При использовании приведённых формул необходимо помнить, что число разбиений n в методе Симпсона должно быть чётным.

Метод Гаусса:

Метод Гаусса основан на интерполяции f(x) полиномом Лагранжа, но абсциссы x выбираются из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции. Квадратурная формула Гаусса имеет вид:

I=*+R(f), где x1=+*t1,

t1 - углы квадратичной формулы Гаусса, Ai - гауссовые коэффициенты, n-число узлов квадратичной формулы. Узлы t1 являются корнями многочленов Лагранжа степени n и расположены симметрично на отрезке [-1,1]. Гауссовые коэффициенты Ai равны для симметрично расположенных узлов. Метод Гаусса обеспечивает наивысший порядок точности - формула точности для многочленов степени не выше (2n-1).

            Исходные данные:

f(x)=(exp(x)),   a=-1,   b=1

Решение в Fortran:

Головнаяпрограмма:

program pr

external F

n=4;e=1;a=-1;b=1

call met_pr(F,a,b,n,y1)

call met_tr(F,a,b,n,y2)

call met_sim(F,a,b,n,y3)

call qg8(a,b,f,y)      

print*,'         n     met_pr         met_tr         met_sim       met_Gauss'

print*,n,y1,y2,y3,y

y11=0;y22=0;y33=0

do

n=n+4

call met_pr(F,a,b,n,y1)

call met_tr(F,a,b,n,y2)

call met_sim(F,a,b,n,y3)

print*,n,y1,y2,y3

e1=abs(y1-y11);y11=y1

e2=abs(y2-y22);y22=y2

e3=abs(y3-y33);y33=y3

if(e1<1e-6.and.e2<1e-6.and.e3<1e-6)exit

!                       if(y1==y.and.y2==y.and.y3==y)exit

enddo

end


Программы:

subroutine met_pr(F,a,b,n,y1)

real::F,a,b,y1,h,x,h2

integer::i,n

h=(b-a)/n;h2=h/2;y1=0

do i=0,n-1

x=a+i*h+h2

y1=y1+f(x)

enddo

y1=y1*h

end

subroutine met_tr(F,a,b,n,y2)

real::F,a,b,y2,h,x

integer::i,n

h=(b-a)/n;y2=0

do i=1,n-1

x=a+i*h

y2=y2+f(x)

enddo

y2=((f(a)+f(b))/2+y2)*h

end

subroutine met_sim(F,a,b,n,y)

real::F,a,b,y,h,x

integer::i,n

h=(b-a)/n;y=0;c=1

do i=1,n-1

x=a+i*h

y=y+(3+c)*f(x)

c=-c

enddo

y=(f(a)+f(b)+y)*h/3

end

subroutine qg8(xl,xv,f,y)

a=.5*(xv+xl)

b=(xv-xl)

c=.4801449*b

y=.05061427*(f(a+c)+f(a-c))

c=.3983332*b

y=y+.1111905*(f(a+c)+f(a-c))

c=.2627662*b

y=y+.1568533*(f(a+c)+f(a-c))

c=.09171732*b

y=b*(y+.1813419*(f(a+c)+f(a-c)))

return

end

function f(x);f=exp(x);

end


Результатысчёта:

N   met_pr  met_tr   met_sim  met_Gauss   

4  2.326097       2.399166       2.351195       2.350402   

           8   2.344293       2.362631       2.350453   

          12   2.347684       2.355841       2.350413   

          16   2.348873       2.353462       2.350406   

          20   2.349423       2.352361       2.350404   

          24   2.349722       2.351763       2.350403   

          28   2.349903       2.351402       2.350403   

          32   2.350020       2.351167       2.350402   

          36   2.350100       2.351007       2.350403   

          40   2.350158       2.350892       2.350403   

          44   2.350200       2.350807       2.350403   

          48   2.350233       2.350743       2.350403   

          52   2.350258       2.350693       2.350403   

          56   2.350278       2.350652       2.350403   

          60   2.350294       2.350620       2.350403   

   Решениев Mathcad:

Вывод:

Наиболее эффективным методом нахождение интегралов в Fortran является метод Гауса.

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Информатика
Тип:
Отчеты по лабораторным работам
Размер файла:
245 Kb
Скачали:
0