Вычисление определённого интеграла от функции f(x) на отрезке методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса

Лабораторная работа №6

Вычисление определённых интегралов

Задание: вычислить определённый интеграл от функции f(x) на отрезке  методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса (n=8). Определить минимально необходимое число разбиений n отрезка  для вычисления интеграла с заданной точностью методами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Порядок выполнения задания:

1)  составить программное обеспечение: подпрограммы вычисления интеграла методами прямоугольников, трапеций, Симпсона, Гаусса; подпрограмму-функцию для вычисления значений f(x);

2)  составить головную программу для исследования точности вычисления интеграла разными методами;

3)  выбрать исходные данные и провести счёт;

Метод прямоугольников.

            На каждом промежутке  функция y=f(x) заменяется интерполяционным многочленом нулевого порядка, построенным по значению функции в средней точке x_i+h/2. Применяя формулу прямоугольников к каждому промежутку и суммируя, получим

I=h*+R(f)

где R(f) – остаточный член, который не используется в вычислениях, но по которому можно судить о точности применяемой формулы. Для метода прямоугольников R(f)=h²*(b-a)*f’’(t)/24, f’’(t) – значение второй производной f(x) в точке x=t, где она максимальна.

Метод трапеций.

Метод трапеций заключается в линейном аппроксизме f(x) на промежутке [x_i,x_i+1]. С учётом суммирования смежных ординат внутри отрезка [a,b] обобщённая формула принимает вид:

I=h*{+}-R(f),

где R(f)=h²*(b-a)*f¢¢(t)/12

Метод Симпсона (парабол):

Метод Симпсона является частным случаем метода Ньютона-Котеса. Последний основан на интерполяции f(x) в m промежутках (т.е. на участке [x_i,x_i+m]) полиномом Лагранжа. При этом f(x) должна задаваться (m+1) ординатами. Формулы интегрирования точны, если f(x)-многочлен m-ой степени. При m=1 получаем метод трапеций, при m=2-метод Симпсона. Интеграл от x_i до x_i+2 от полинома Лагранжа, проходящего через точки (x_i,f(x)),(x_i+1,f(x_i+1)),(x_i+2,f(x_i+2)),равен

[f(x_i+4*f(x_i+1)+f(x_i+2)]*h/3.)                     

При суммировании получим обобщённую формулу Симпсона:

I=*{f(a)+f(b)+4*+2*}-R(f), где R(f)=n*h⁵*f¢(t)/90. Формулу можно представить в следующем виде:

I=h/3*{f(a)+f(b)+}-R(f)

При использовании приведённых формул необходимо помнить, что число разбиений n в методе Симпсона должно быть чётным.

Метод Гаусса:

Метод Гаусса основан на интерполяции f(x) полиномом Лагранжа, но абсциссы x выбираются из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции. Квадратурная формула Гаусса имеет вид:

I=*+R(f), где x₁=+*t₁,

t₁ - углы квадратичной формулы Гаусса, A_i - гауссовые коэффициенты, n-число узлов квадратичной формулы. Узлы t₁ являются корнями многочленов Лагранжа степени n и расположены симметрично на отрезке [-1,1]. Гауссовые коэффициенты A_i равны для симметрично расположенных узлов. Метод Гаусса обеспечивает наивысший порядок точности - формула точности для многочленов степени не выше (2n-1).

            Исходные данные:

f(x)=(exp(x)),   a=-1,   b=1

Решение в Fortran:

Головнаяпрограмма:

program pr

external F

n=4;e=1;a=-1;b=1

call met_pr(F,a,b,n,y1)

call met_tr(F,a,b,n,y2)

call met_sim(F,a,b,n,y3)

call qg8(a,b,f,y)      

print*,'         n     met_pr         met_tr         met_sim       met_Gauss'

print*,n,y1,y2,y3,y

y11=0;y22=0;y33=0

do

n=n+4

call met_pr(F,a,b,n,y1)

call met_tr(F,a,b,n,y2)

call met_sim(F,a,b,n,y3)

print*,n,y1,y2,y3

e1=abs(y1-y11);y11=y1

e2=abs(y2-y22);y22=y2

e3=abs(y3-y33);y33=y3

if(e1<1e-6.and.e2<1e-6.and.e3<1e-6)exit

!                       if(y1==y.and.y2==y.and.y3==y)exit

enddo

end