Экспериментальное исследование основного закона динамики вращательного движения

Лабораторная работа №4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНОГО ЗАКОНА ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Цель работы: 1. Установить зависимость углового ускорения от момента силы при определенном моменте инерции системы.

2. Определить момент инерции системы.

Приборы и принадлежности: маятник Обербека, штангенциркуль, отвертка, секундомер, длинная линейка, набор грузов.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Вращательное движение, как и поступательное, описывается вторым законом Ньютона. В применении к вращательному движению он носит название основного закона динамики вращательного движения.

Этот закон устанавливает зависимость между суммарным моментом сил М, действующих на тело, моментом инерции тела I и приобретаемым угловым ускорением ε.    

  или                                              (1)

Уравнение (1) - основное уравнение динамики вращательного движения.

Угловое ускорение зависит прямо пропорционально от момента силы

ε ~ М

и обратно пропорционально от момента инерции

ε ~ 1/ I.

Если сравнить с поступательным движением, то момент силы М аналогичен силе, так как изменяет состояние тела, момент инерции I аналогичен массе тела. Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.

2. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТА

Чтобы установить зависимость между моментом силы М и угловым ускорением ε, нужно экспериментально определить каждую из этих величин.

Рассмотрим задачу о вращении маятника Обербека.

Если груз m, подвешенный на нити, достаточно велик, то он движется равноускоренно вниз. При этом крестовина вращается с угловым ускорением ε (рис.  1).

По второму закону Ньютона для груза составляем уравнение динамики

                                                (2)

где a - линейное ускорение, м/с²; F_r - сила реакции нити, приложенная к грузу, Н; mg - сила тяжести груза, H.

В то же время к шкиву приложена сила F_н - сила натяжения нити, причем, но третьему закону Ньютона   F_н = -F_r, сила натяжения нити равна силе реакции нити. Значение F определим, спроецировав уравнение (2) на ось ОХ

- ma = F_r – mg;

F_r = mg – mа.

Так как  F_н = F_r,

F_н = mg - ma.                                                 (3)

Для вращающейся крестовины применяем основное уравнение динамики вращения М = Iε.

Момент силы М создается касательной к шкиву силой F_н, направление момента силы определяем по правилу правого винта (на рисунке М направлен за чертеж, что отмечено знаком  X).

По определению момента силы             

где r - плечо силы, м.

Подставив вместо F_н ее выражение (3), получим

M = m(g - a)r.                                               (4)

Угловое ускорение ε связано с тангенциальным ускорением соотношением  

                                                             (5)

Линейное ускорение а определяем из следующих соображений. В начальный момент времени скорость падения груза m равна 0. Если t - время падения груза с высоты h, то

откуда

                                                           (6)

Подставив формулу (6) в формулы (4) и (5),  получим

                                                  (7)

Момент инерции крестовины можно рассчитать по формулам, зная длину и массу стержней, а также массу цилиндров m₁ и их расстояния до оси вращения (рис. 1)

                                                   I_кр = I_ц +I_ст,                                                                                     

где I_кр - момент инерции крестовины, кг · м²; - суммарный момент инерции цилиндров m₁, кг · м²; I_ст - суммарный момент инерции стержней, кг · м².

I_ц = 4m₁·R², где   m₁ - масса одного цилиндра, кг; R - расстояние цилиндра до центра вращения, м.

где m_ст - масса одного стержня, кг; l - длина одного стержня, м. Окончательная формула момента инерции принимает вид

                                       (8)

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Задание 1

Исследовать  зависимость углового ускорения от момента силы.

1) Установите с помощью отвертки цилиндры m₁ на одинаковых расстояниях от центра вращения и закрепите их в этом положении на крестовине.

2) Измерьте линейкой высоту h падения груза m на нити.

3) Измерьте штангенциркулем диаметр шкива d´ - с намотанной нитью и d´´  - без нити, после чего найдите среднее арифметическое значение радиуса шкива

4) Подвешивая поочередно на нить грузы различной массы, измерьте секундомером время t падения каждого груза с высоты h. Время падения каждого грузя следует измерить пять раз и найти среднее арифметическое t_ср

                                                                                            

Измерения произведите для 5-6 грузов. Результаты занесите в табл. 1

                                      Таблица 1.

Результаты измерений

Номер опыта	d´, м	d´´, м	r, м	ti, с	tср, с	m, кг	ε, с-2	M, Н·м
1
…
5

5) По формулам (7) произведите расчет ε и М, также занесите их в табл. 1. 

6) По данным табл. 1 постройте график зависимости ε(М) на миллиметровой бумаге (рис. 2).

Задание 2

Вычислить момент инерции крестовины.    

Для экспериментального определения момента инерции крестовины   следует из графика найти

где     tgα - тангенс угла наклона графика к оси абсцисс; ε_к, ε_н, M_к, М_н - координаты точек графика, отстоящих достаточно далеко друг от друга.

Момент инерции определите по формуле

Рис. 2. График зависимости ε(М)

                           

Для теоретического расчета момента инерции используйте формулу (8). Данные измерений и расчета занесите в табл. 2.

Таблица 2

Результаты измерений

m1, кг	R, м	mст, кг	l, м	I, кг · м2

Определите ΔI = │I_т - I_кр│, где ΔI' - разность между теоретическим и экспериментальным значениями момента инерции крестовины. Вычислите относительную ошибку.

Проанализируйте возможное несовпадение результатов. Выводы анализа запишите в отчет.                          

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1) Как сформулировать основной закон динамики вращения?

2) Как записать основное уравнение динамики вращения?

3) Как зависят величины, входящие в основное уравнение динамики вращения, друг от друга?    

4) Как экспериментально определить момент инерции крестовины?