Основы компьютерного моделирования. Исследование пассивного четырехполюсника: Методические указания к прохождению компьютерной практики, страница 8

Вариант 22

Вариант 23

Вариант 24

Вариант 25

Вариант 26

Вариант 27

Вариант 28

Вариант 29

Вариант 30

Вариант 31

Вариант 32

Вариант 33

Вариант 34

Вариант 35

Вариант 36

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Численные методы

Б.1 Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение 

                                                                                                 (Б.1)

с начальным условием   у(х₀) = у_0.

Выбрав достаточно малый шаг h, построим систему равноотстоящих точек

         (i=0, 1,  2, …).                                                               (Б.2)

Искомую интегральную кривую у = у(х), проходящую, через точку приближенно заменим (см. рис. Б.1) ломаной  ... с вершинами   (i=0, 1,  2, …), звенья которой  прямолинейны между прямыми   и имеют подъем

                                                                                      (Б.3)

(так называемая ломаная Эйлера).

Таким образом, звенья ломаной Эйлера в каждой вершине имеют направление, совпадающее с направлением интегральной кривой уравнения (Б.1), проходящей через точку .

Рисунок Б.1 – Ломаная Эйлера

Из формулы (Б.3) вытекает, что значения могут быть определены (метод Эйлера) по формулам:

   (i=0, 1,  2, …).

Метод Эйлера является простейшим численным методом интегрирования дифференциального уравнения. Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений.

Б.2 Модифицированный метод Эйлера:

Модифицированный метод Эйлера применяется для приближенного решения дифференциальных уравнений второго порядка.

Решим приближенно дифференциальное уравнение второго порядка

                                                                                            (Б.4)

с начальными условиями  ;  ,

Произведем в (Б.4) замену:  .

Уравнение (Б.4) преобразуем в эквивалентную нормальную систему для функций , ;

                                                                                           (Б.5)

с начальными условиями ; 

Модифицированный метод Эйлера для системы (Б.5) таков же, как и метод Эйлера для одного уравнения. Вычисления идут двумя параллельными путями, причем результаты одного из них используются в другом по рекуррентным формулам:

        (i=0, 1,  2, …).

Б.3 Метод Рунге — Кутта

Пусть дано дифференциальное уравнение

                                                                                                 (Б.6)

с начальным условием   у(х₀) = у_0.

Выберем шаг hи для краткости введем обозначения

и

  (i=0, 1,  2, …).

Рассмотрим числа:

                         (Б.7)

Тогда последовательные значения  искомой функции  определяются по формуле:

где

   (i=0, 1,  2, …).