Решение алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом и половинного деления

9. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом и половинного деления

Цель работы: используя метод половинного деления, метод хорд и комбинированный метод вычислить с точностью до  действительные корни уравнения третьего порядка .

Рекомендации к выполнению задания

Программирование метода производится в среде разработки на выбор студента (Delphi, Borland C++, Turbo Pascal и т.д.).

Входные параметры программы:

d₀, d₁, d₂, d₃- числовые коэффициенты исходного уравнения;

 - погрешность;

h – шаг при отделении корней.

Выходные параметры программы:

- интервал для первого корня,          -приближённое значение первого корня,  - число итераций;

- интервал для второго корня,         -приближённое значение второго корня,  - число итераций;

- интервал для третьего корня,         -приближённое значение третьего корня,  - число итераций.

Отчет по самостоятельной работе должен содержать:

1.  постановку задачи;

2.  блок-схему реализации используемого численного метода;

3.  программу решения задачи.

Теоретические сведения

При определении корня нелинейного уравнения выполняются два этапа:

-  этап отделения корней;

-  этап уточнения корней.

1. Отделение действительных корней.

Рассмотрим уравнение . Отделение корней методом перебора (табличный метод) проводится на основании следующей теоремы:

если непрерывная функция  принимает значения разных знаков на концах отрезка , т.е. , то внутри этого отрезка находится, по крайней мере, один корень уравнения .

На практике необходимо определить знаки функции  в ряде точек х₁, х₂, … из области определения функции. Если , то в силу приведенной выше теоремы на отрезке  имеется, по крайней мере, один корень уравнения . Необходимо проверить, является ли этот корень единственным. Если на отрезке   не меняет знак, корень – единственный (в силу монотонности ).

Метод половинного деления

Пусть найден отрезок , содержащий единственный корень уравнения , который обозначим через . Для нахождения корня уравнения делим отрезок  пополам.

Если , то  и задача решена.

Если , то выбираем ту из половин отрезка, на концах которой функция  имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок  снова делим пополам и повторяем те же рассуждения и т.д. В результате, на каком то этапе получаем или точный корень уравнения или последовательность вложенных друг в друга отрезков , , …, , … .

Если необходимо вычислить корень уравнения с точностью до , деление отрезка  производится до тех пор, пока выполняется условие . За приближенное значение корня берется средняя точка отрезка .

 

 

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids, Menus;

type

TForm1 = class(TForm)

Edit1: TEdit;

Label1: TLabel;

Edit2: TEdit;

Label2: TLabel;

Edit3: TEdit;

Label3: TLabel;

Edit4: TEdit;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Edit5: TEdit;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Edit7: TEdit;

Label9: TLabel;

Edit8: TEdit;

Label10: TLabel;

Edit6: TEdit;

Label11: TLabel;

Button1: TButton;

StringGrid1: TStringGrid;

Label12: TLabel;

Label13: TLabel;

StringGrid2: TStringGrid;

MainMenu1: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

N5: TMenuItem;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure N5Click(Sender: TObject);

procedure N2Click(Sender: TObject);

procedure N3Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

d3,d2,d1,d0,e,h,a,b,x,f,c:real;

implementation

uses unit2, unit3;

{$R *.dfm}

function y(x:real):real;

begin

y:=d3*x*x*x+d2*x*x+d1*x+d0;

end;

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i,j:integer;

begin

d3:=strtofloat(Edit1.Text);

d2:=strtofloat(Edit2.Text);

d1:=strtofloat(Edit3.Text);

d0:=strtofloat(Edit4.Text);

e:=strtofloat(Edit5.Text);

h:=strtofloat(Edit6.Text);

a:=strtofloat(Edit7.Text);

b:=strtofloat(Edit8.Text);

x:=a;

i:=0;

j:=0;

StringGrid1.Cols[0].Clear;

StringGrid1.Cols[1].Clear;

StringGrid2.Cols[0].Clear;

label12.Caption:='';

label13.Caption:='';

StringGrid1.Cells[0,0]:='x';

StringGrid1.Cells[1,0]:='f(x)';

StringGrid2.Cells[0,0]:='f(a)';

while x<=b do

begin

f:=y(x);

i:=i+1;

StringGrid1.RowCount:=  StringGrid1.RowCount+1 ;

StringGrid1.Cells[0,i]:=Floattostr(x);

StringGrid1.Cells[1,i]:=Floattostr(f);

x:=x+h;

end;

if y(a)*y(b)<0 then

begin

repeat

StringGrid2.RowCount:=  StringGrid2.RowCount+1 ;

StringGrid2.Cells[0,0]:='Интервал';

c:=(a+b)/2 ;

if y(c)=0 then

begin

label12.Caption:='Точный корень: '+floattostr(c);

exit;

end

else

if y(a)*y(c)<0 then

begin

StringGrid2.Cells[0,j+1]:='[ '+Floattostr(a)+' ; '+Floattostr(b)+' ]';

j:=j+1;

b:=c ;

end

else

begin

StringGrid2.Cells[0,j+1]:='[ '+Floattostr(a)+' ; '+Floattostr(b)+' ]';

j:=j+1;

a:=c;

end;

until (abs(b-a)<2*e);

label13.Caption:='Корень с точностью '+ floattostr(e)+' равен '+floattostr(c);

end

else

label13.Caption:='Корня нет или он не один';

end;

procedure TForm1.N2Click(Sender: TObject);

begin

form2.ShowModal;

end;

procedure TForm1.N3Click(Sender: TObject);

begin

form3.ShowModal;

end;

procedure TForm1.N5Click(Sender: TObject);

begin

if messagedlg ('Работа окончена?', mtConfirmation,[mbYes,mbNo],0)=mrYes  then

close;

end;

end.