Введение в численные методы: Учебное пособие

Абсолютная погрешность суммы чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Относительная погрешность суммы этих чисел d_S заключается между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых. То есть она не превышает наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

                                       (1.6)

С другой стороны имеем равенства:

,                         (1.7)

а так как все дроби (1.6) рассматриваются лишь по их численной величине, то дробь (1.6), представляющая отношение суммы числителей к сумме знаменателей, заключается между наибольшей и наименьшей из дробей (1.7).

Поэтому, в том случае, когда все слагаемые приблизительно одинаковой величины (отношение наибольшего из них к наименьшему менее 10 [1]), надо их писать с одним и тем же числом знаков, столько же верных знаков будет и в сумме.

Если числа сильно разнятся по величине, то разрядность их уравнивают по разрядности наибольшего из чисел. Однако в этом случае необходимо иметь информацию о том, как получены эти значения и не является ли число, резко отличающееся от остальных, например, "грубым выбросом", ошибочным значением и т.д. Тогда ориентироваться на него надо осторожно или вовсе этого не делать.

Пример. Сложить числа: 2,374; 2,8232; 0,52181; 0,014253, тогда не следует делать сложение так показано в п. а), а следует делать так, как показано в п. б):

При сложении приближённых чисел абсолютная погрешность может быть как положительной, так и отрицательной, при этом может происходить взаимная компенсация погрешностей.

Погрешность произведения. Относительная погрешность произведения чисел равна сумме относительных погрешностей слагаемых.

Пусть множители х₁, х₂ имеют относительные погрешности d₁, d₂. Следовательно, истинные величины этих чисел можно представить:

х₁ =  х₁ (1 + d₁)  и  х₂ =  х₂ (1 + d₂)                         (1.8)

Истинная величина произведения будет:

х₁ х₂ = х₁ х₂ (1 + d₁)(1 + d₂) = х₁ х₂(1 + (d₁ + d₂) + d₁d₂)            (1.9)

Обыкновенно d₁ и d₂ весьма малы, например, 0,001; тогда произведение d₁d₂ будет весьма мало по сравнению с их суммой и эти произведением можно пренебречь. Тогда имеем:

х₁ х₂ = х₁ х₂(1 + (d₁ + d₂)) = х₁ х₂ +  х₁ х₂(d₁ + d₂),            (1.10)

что подтверждает высказанное свойство для случая двух множителей, которое распространяется и на любое их количество.

Деление. Так как деление на число х равносильно умножению на число , то при делении относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя. Этой величины она достигает при условии, когда абсолютные погрешности делимого и делителя разных знаков.

Возведение в степень. Относительная погрешность m-ой степени числа равна m-кратной относительной погрешности этого числа. Относительная погрешность квадрата числа равна удвоенной относительной погрешности числа, куба – утроенной и т.д. Относительная погрешность корня m-ой степени числа составляет 1/m часть относительной погрешности числа.

То есть это справедливо и для дробных степеней:

,                     (1.11)

где Р - степень числа.

Поскольку d мала, то всеми членами, её содержащими можно пренебречь, тогда:

                                  (1.12)

Вычитание. Относительная погрешность разности не поддаётся простому учёту. Особенно не благоприятна в этом смысле разность двух близких по величине чисел.

Например, пусть даны числа: 52,287 и 51,939. Разность между ними равна 0,348. Как известно, в каждом из исходных чисел можно ручаться только за первые четыре цифры, а так как в последней погрешность не более 1, то относительная погрешность самих чисел не более . Между тем как в разности этих чисел 0,348 последняя цифра может быть неверна уже на две единицы и относительная погрешность может составить , т.е. примерно в триста раз большую величину нежели в данных.

Относительная погрешность разности во столько же раз больше относительной погрешности в слагаемых, во сколько раз сама разность меньше каждого из них.

Представим сводку тех общих правил, которые вытекают из приведённых