Дифференциальное уравнение движения системы тел, соединенных идеальной нитью

Составить дифференциальное уравнение движения системы, образованной телами 1, 2, 3 с массами , , , соединенными идеальной нитью. Блок 2 и каток 3 считать однородными цилиндрами. Коэффициент трения скольжения между телом 1 и наклонной плоскостью равен , цилиндр 3 катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Момент упругих сил спиральной пружины , , .

Для решения задачи применим уравнения Лагранжа 2-го рода:

где  - кинетическая энергия системы; - обобщенная сила, соответствующая неконсервативным силам.

Выразим скорости центров масс твердых тел и угловые скорости через обобщенные скорости:

;

;

;

.

Для данной системы .

Кинетическая энергия груза 1, двигающейся поступательно:

.

Кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси:

,

где  - момент инерции тела 2.

Кинетическая энергия цилиндра 3, совершающего плоское движение:

,