Системы линейных одновременных уравнений. Модель спроса-предложения

ЛЕКЦИЯ № 9

Системы линейных одновременных уравнений.

Модель спроса - предложения.

Рассмотрим теперь случай, когда интересующие нас зависимости будут описываться целой системой взаимосвязанных соотношений, что ставит новые вопросы, связанные с правильной (т.е. непротиворечивой, идентифицируемой) комплектацией такой системы. Мы должны выяснить, можно ли применять технические приёмы и методы, используемые в анализе и оценивании отдельного уравнения, последовательно к каждому из соотношений в системе. Или же специфика взаимосвязей соотношений, из которых составлена система, требует разработки специальных методов для оценки одновременно всех параметров этой системы?

Напомним, что системой одновременных уравнений (СОУ) называется набор взаимосвязанных регрессионных моделей, в которых одни и те же переменные могут одновременно играть роль (в различных уравнениях системы) результирующих показателей (объясняемых переменных) и предикторов (объясняющих переменных).

§1. Модель спроса - предложения как пример

системы одновременных уравнений

Мы располагаем наблюдениями , характеризующими динамику среднедушевого дохода , предложения некоторого товара (, которое совпадает со спросом на этот товар в условиях равновесия) и цены на него . Центрируем переменные: . Для центрированных таким образом переменных известны линейные уравнения спроса и предложения запишутся в виде:

                                                           (1)

                 

где  и  - некоторые неизвестные коэффициенты, а каждая из последовательностей  и   представляет собой ряд взаимно некоррелированных случайных величин, имеющих нулевые средние значения и дисперсии, соответственно,  и , не зависящие от . Кроме того, предполагается, что регрессионные остатки  и  не коррелированы между собой, а также не коррелированы с переменной .

Анализируемая модель описана системой (1), состоящей из двух уравнений () с двумя эндогенными переменными и одной () предопределенной (экзогенной) переменными. Балансовых тождеств система не имеет (т.е.  и потому ). Структурная форма модели задана уравнениями (1). Решая эти уравнения относительно эндогенных переменных  и , получаем приведенную форму СОУ:

                                              ,                                (2)

где

                                                                                            (3)

                      

Ввиду предположения о постоянстве дисперсий  и  и некоррелированности  и  между собой и с экзогенной переменной  получаем, что случайные остатки  и  приведенной формы также имеют не зависящие от  дисперсии, не коррелированы между собой и с экзогенной переменной  в уравнении .

Идентифицируемость уравнений системы. Поделив первое из уравнений (3) на второе, получаем . Однако соотношений (3) оказывается недостаточно для того, чтобы определить из них значения коэффициентов  и  второго уравнения структурной формы. Это значит, что первое уравнение структурной формы анализируемой СОУ идентифицируемо, а второе и вся система - неидентифицируемы.

Статистическое оценивание параметров СОУ. Попробуем сначала формально воспользоваться обычным методом наименьших квадратов, примененным в отдельности к каждому из уравнений (1).

1) Несостоятельность обычных МНК-оценок параметров уравнений структурной формы. Начнем с первого уравнения модели (1) и воспользуемся формулой для вычисления МНК-оценки в простейшем варианте модели регрессии с единственной объясняющей переменной (в уравнении ее роль выполняет цена товара ):

                                         .                                                   (4)

Подставим в правую часть (4) вместо переменной  ее модельное выражение из (1):

                              .                                  (5)

Исследуем поведение при  второго слагаемого в правой части (5), поскольку от него зависят свойства несмещенности и состоятельности оценки . Если принять естественное допущение о существовании при  числителя и знаменателя этого отношения, то в силу закона больших чисел будем иметь:

                                  ,

                                         .

(в этих соотношениях учтено, что по построению  при всех , а сходимость пределов понимается “по вероятности”). Выразим значения  и  в терминах параметров модели. Для этого воспользуемся выражением  из второго соотношения приведенной формы (2) анализируемой СОУ:

 

              .

Поэтому

              .

Мы видим, что обычная МНК-оценка  параметра  имеет в общем случае (т.е. при  и ) асимптотически неустранимое смещение, а следовательно, она не является ни несмещенной, ни (что более важно) состоятельной. Так как результат - отрицательный, оценивание второго уравнения системы с помощью обычного МНК не имеет смысла.

2) Использование косвенного метода наименьших квадратов. При переходе к приведенной форме было подмечено, что регрессионные остатки в уравнениях(2) удовлетворяют условиям классической модели регрессии. Следовательно, оценки параметров  и  могут быть получены с помощью обычного метода наименьших квадратов, и при этом они будут несмещенными и состоятельными. Но в случае идентифицируемости параметров структурной формы они по определению могут быть выражены через параметры приведенной формы. Поэтому если в эти выражения мы вместо параметров  подставим их МНК-оценки , то получим (в соответствии с теоремой Слуцкого) состоятельные оценки для соответствующих идентифицируемых параметров структурной формы. Такой способ оценивания идентифицируемых параметров структурной формы называют косвенным методом наименьших квадратов. В нашем примере идентифицируемым является только первое уравнение. Получаем состоятельную оценку косвенного метода наименьших квадратов для параметра :

                                     ,

где  - обычные МНК-оценки параметров  в уравнениях (2) приведенной формы анализируемой СОУ.

3) Использование метода инструментальных переменных. Причина непригодности обычного метода наименьших квадратов в коррелированности объясняющей переменной (в нашем случае ) с регрессионными остатками (внашем случае - с ). В качестве инструментальной переменной естественно использовать доход , поскольку:

n  не коррелирован по условию с ;

n  по построению достаточно сильно коррелирован с ;

Тогда оценка  параметра  по методу инструментальных переменных будет

                                             .

Если принять во внимание, что МНК-оценки  параметров  уравнений приведенной формы (2) имеют вид  

то сравнение оценки, полученной с помощью косвенного метода наименьших квадратов, с оценкой, полученной с помощью метода инструментальных переменных, приводит к выводу, что в данном случае эти оценки совпадают.

4) Двухшаговый метод наименьших квадратов. В ходе применения косвенного метода наименьших квадратов мы выяснили, что второе уравнение анализируемой системы (т.е. второе уравнение системы (1)) неидентифицируемо, и, соответственно, параметры  и  остались не оцененными. Прямому применению к этому уравнению обычного метода наименьших квадратов препятствует коррелированность значений объясняющей переменной  с регрессионными остатками . Чтобы обойти эту трудность, предполагается следующая двухэтапная процедура оценивания. На 1-м этапе, чтобы избавиться от  в правой части второго уравнения системы (1), мы заменяем эту переменную ее аппроксимацией с помощью обычного метода наименьших квадратов, который, с учетом центрированности обеих переменных, дает:

                                ,                                                               (6)

где МНК-оценка параметров  парной регрессии  по , как известно, имеет вид

                                                        ,                                          (7)

а остатки  в соответствии со свойствами МНК не коррелированы с предиктором .

Теперь, на втором этапе оценивания, мы можем возвратиться к оцениваемому уравнению из (1) и заменить в нем объясняющую переменную  ее аппроксимацией (6). В результате вместо второго уравнения (1) получаем уравнение

                   .

В этом уравнении остаток  по условию и по построению не коррелирован с предиктором , а поэтому мы можем использовать обычный МНК для оценки параметра :

                                                 .                                                      (8)

Таким образом мы получаем линейное соотношение, связывающее между собой оцениваемые параметры  и :

                                      ,

в котором величины  и  определены соотношениями (7) и (8). Для того, чтобы отсюда извлечь оценки  и , надо вернуться к соотношениям, связывающим между собой параметры приведенной и структурной форм:

                                                      

Решая эти три уравнения относительно параметров структурной формы ,  и  и воспользовавшись значениями уже подсчитанных оценок , а также теоремой Слуцкого, получаем

                          

Описанный (для данного частного случая) способ получения оценок параметров отдельного уравнения системы носит название двухшагового метода наименьших квадратов.

Замечание. Заменяя в ходе первого шага процедуры объясняющую переменную  ее аппроксимацией , мы тем самым сознательно идем на чистую мультиколлинеарность в получающейся модели

                                  .

Так что мы не можем претендовать на получение состоятельных МНК-оценок отдельно для коэффициентов  и : в силу вырожденности матрицы наблюдений объясняющих переменных  и  получающаяся в результате применения МНК система нормальных уравнений будет содержать два одинаковых уравнения для определения оценок параметров  и . Однако, с учетом уже имеющихся у нас соотношений, связывающих между собой параметры структурной и приведенной форм системы, мы получаем как раз ту связь между этими параметрами, которой не хватало для определения оценок параметров неидентифицируемого уравнения.