Действия с линейным оператором.0 Свойства линейных операторов. Двойная свертка оператора

Каждому реальному вектору во взаимооднозначное соответствие можно поставить(при выбранном базисе) матрицу строку или матрицу столбик

 или

 или

При этом базисные векторы имеют следующий вид:

;  ;  .

Тогда:

Аналогичное построение можно сделать для матриц любых размеров(плоских, кубических, n-мерных). В этом случае в качестве базиса пространства матриц используют диады, триады и т. д. базисных векторов.

Диада:

В соответствии с этим для базисных векторов:

 ;  ;  ;

С учетом этих представлений вводится понятие линейного оператора(Аффинор):

- аффинор.

где n - размерность.

Название(оператор) связано с тем, что объект А преобразует вектор   в вектор по правилу: , при этом функция обладает линейными свойствами:

1)

2)

Действия с линейным оператором. Свойства линейных операторов.

Оператор обладает всеми свойствами вектора. Операторы образуют линейное пространство, значит в определенных условиях их можно считать векторами. По этому, для каждого оператора А, представленного в виде матрицы размером n на m в n – мерном пространстве , существует вектор - матрица строка или матрица столбик, длинной , принадлежащий и наоборот.

Например: Пусть

где j=1,2,3,4,…

где I=i + 3( j - 1)

n=3

Пусть j=1, тогда:

;  ;

;   ; .

Правило перехода должно обеспечивать его взаимную однозначность. Описанное свойство операторов вытекает из свойств алгебраических действий сними.

1) Сложение:  ; ;

; ; .

Если C=A+B, то должно быть:

Аналогично:

2) С=A·B; если ;

Рассмотрим как строится оператор С:

Где:

.

Норма матрицы.

Норма матрицы не зависит от выбора координатной системы. Норма линейного оператора ( ||A|| ) – это числовая характеристика оператора, не зависящая от выбора координатной системы, в которой вычислена его матрица.

В различных ситуациях в качестве нормы могут быть приняты разные величины.

На пример:

; ;

1)  ||A||=;

2)  ||A||=max(||);

3)  ||A||=max();

4)  ||A||=;

…

Для матриц строк и столбцов, т.е. векторов, в качестве нормы чаще всего используют модуль.

Не зависимо от вида формулы, по которой считается норма, она должна удовлетворять следующим требованиям:

1) ||A|| > 0, A0;

||A|| = 0, A=0.

2) ||A+B||  ||A|| + ||B||;

3) ||AB|| = ||A|| ||B||;

4) ||kA|| = |k| ||A||, k.

Двойная свертка оператора.

Рассмотренное выше произведение операторов еще сверткой по одному индексу. Наряду с этим используется двойная сетка, т.е. свертка по двум индексам.

.