Разложение определителя по элементам строки или столбца. Общее правило вычисления определителей. Перестановки и их свойства

А==

Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Дана квадратная матрица:

А=

Минором , соответствующему элементу  называется определитель матрицы, полученный из данной вычеркиванием i строки и j столбца.

Например:

Алгебраическим дополнением  называется величина, определяемая формулой:

С учетом этих понятий можно доказать, что определитель любого порядка можно разложить по элементам, т.е. представить в виде:

С учетом этого правили можно вычислить определитель любого порядка:

Свойства определителей.

ü 1) определитель равен нулю, если а) элементы какой-либо строки или столбца равны нулю;

б) элементы одной строки равны или пропорциональны элементам другой строки (столбцы аналогично);

ü  2) определитель не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить элементы строки (столбца), умноженного на число;

ü  3) если элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножается на это же число;

ü  4) при перестановки местами двух соседних строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный;

ü  5) ;

ü  6) определитель произведения АВ равен произведению определителей  (;

ü  7) ;

ü  8) .

Общее правило вычисления определителей. Перестановки и их свойства.

Пусть даны 3 элемента, их можно расставить следующими способами:

 

                                                                                   3

  1        2       3     - 0-я перестановка                     1    2  

 

3

  2        1      3        - 1-я перестановка               1   2

 

                                                                                    3

  2       3        1       - 2-я перестановка                    1    2

 

                                                                                     3

3        2       1        - 3-я перестановка                    1     2

 

                                                                                    3

  3       1        2        - 4-я перестановка          1             2

 

                                                                                      3

1        3       2          - 5-я перестановка               1           2

 

                                                                                         3

1       2        3            - 6=0-я перестановка               1      2

Общее количество перестановок из n элементов: !

Для учета четности или нечетности перестановок используется символ ε – антисимметричный символ Леви-Чивита.

Каждое из чисел  принимает значение от 1 до n

 

0, если любые два индекса повторяются

ε=        +1, если верхний индекс составляет четную перестановку нижних

-1 , если нечетная перестановка

Например

Даны два вектора:

если і=j

- символ Кронекера если і≠j

 

При записи формул используется правило суммирования по повторному индексу (правило Энштейна).

Справедливо равенство:

  - у двух сомножителей индексы совпадают, значит, по этому индексу ведется суммирование от і=1 до і=n

С учетом этого:

С учетом символа Леви-Чивита общее определение определителя имеет вид:

Р(n)=n! – общее количество перестановок.

Элементы линейной алгебры.

Множество А каких-то элементов называется линейным векторным пространством (линеал), если для его элементов определяются операции сложения и умножения на число (действительное или комплексное), обладающее свойствами:

ü 1) ;

ü 2) ;

ü 3) ;

ü 4) ;

ü 5) ;

ü 6) ;

ü 7) ;

ü 8) ;

ü 9) указывает размерность пространства А -  (аксиома размерности).

Аксиома размерности: указывает количество базисных векторов.

Элементы этого пространства называются векторами. Хотя реальными элементами могут быть:

1)  векторы в обычном понимании;

2)  матрицы одинаковых размеров;

3)  многочлены одинаковых степеней и т.д.

Линейные операции над матрицами.

Рассмотрим матрицы одинаковых размеров:

,    ,     ,….

, если

, если