Действия с линейным оператором.0 Свойства линейных операторов. Двойная свертка оператора

Страницы работы

5 страниц (Word-файл)

Содержание работы

Каждому реальному вектору во взаимооднозначное соответствие можно поставить(при выбранном базисе) матрицу строку или матрицу столбик

 или

 или

При этом базисные векторы имеют следующий вид:

.

Тогда:

Аналогичное построение можно сделать для матриц любых размеров(плоских, кубических, n-мерных). В этом случае в качестве базиса пространства матриц используют диады, триады и т. д. базисных векторов.

Диада:

В соответствии с этим для базисных векторов:

 ;  ;  ;

С учетом этих представлений вводится понятие линейного оператора(Аффинор):

- аффинор.

где n - размерность.

Название(оператор) связано с тем, что объект А преобразует вектор   в вектор по правилу: , при этом функция обладает линейными свойствами:

1)

2)

Действия с линейным оператором. Свойства линейных операторов.

Оператор обладает всеми свойствами вектора. Операторы образуют линейное пространство, значит в определенных условиях их можно считать векторами. По этому, для каждого оператора А, представленного в виде матрицы размером n на m в n – мерном пространстве , существует вектор - матрица строка или матрица столбик, длинной , принадлежащий и наоборот.

Например: Пусть

где j=1,2,3,4,…

где I=i + 3( j - 1)

n=3

Пусть j=1, тогда:

;

 ; .

Правило перехода должно обеспечивать его взаимную однозначность. Описанное свойство операторов вытекает из свойств алгебраических действий сними.

1) Сложение:  ; ;

; ; .

Если C=A+B, то должно быть:

Аналогично:

2) С=A·B; если ;

Рассмотрим как строится оператор С:

Где:

.

Норма матрицы.

Норма матрицы не зависит от выбора координатной системы. Норма линейного оператора ( ||A|| ) – это числовая характеристика оператора, не зависящая от выбора координатной системы, в которой вычислена его матрица.

В различных ситуациях в качестве нормы могут быть приняты разные величины.

На пример:

; ;

1)  ||A||=;

2)  ||A||=max(||);

3)  ||A||=max();

4)  ||A||=;

Для матриц строк и столбцов, т.е. векторов, в качестве нормы чаще всего используют модуль.

Не зависимо от вида формулы, по которой считается норма, она должна удовлетворять следующим требованиям:

1) ||A|| > 0, A0;

||A|| = 0, A=0.

2) ||A+B||  ||A|| + ||B||;

3) ||AB|| = ||A|| ||B||;

4) ||kA|| = |k| ||A||, k.

Двойная свертка оператора.

Рассмотренное выше произведение операторов еще сверткой по одному индексу. Наряду с этим используется двойная сетка, т.е. свертка по двум индексам.

.

Похожие материалы

Информация о работе