Теорема о кинетическом моменте системы

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский  государственный горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Расчетно-графическое задание

По дисциплине:                              Теоретическая механика

                            (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Вариант № 4

Тема:                        Теорема о кинетическом моменте системы..

Выполнил: студент     гр. ТПП-02-2       ______________       /Иванов А.Н./

Дата: __________________

ПРОВЕРИЛ:     ассистент       ____________       / Шишкин Е .В./

                                               ^{(должность)                         (подпись)                            (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2004

Задание.

Найти закон вращения шара массой m₁=20 кг и радиусом R=1м, если по окружности горизонтального большого круга движется материальная точка массой m₂=1кг по закону S=5sin2tм. В начальный момент шар покоился (ω=0). Момент вращения М_вр=100Дж.

Рещение.

По теореме о кинетическом моменте системы

  (1),

где L_z-кинетический момент системы относительно оси z, - главный момент относительно той же оси всех внешних сил, приложенных к системе. =M_z. К системе приложены следующие внешние силы: - вес шара, - вес точки, вращающий момент М_вр; и - реакции подшипников, направление которых неизвестно.

Силы и пересекают ось Z, силы и параллельны этой оси, поэтому они не образуют моментов относительно оси Z. Остается вращающий момент, следовательно,

Равенство (1) может быть переписано в виде:

Интегрирование этого дифференциального уравнения даёт dL_z=М_вр dt;, где с₁- произвольная постоянная. Так как в начальный момент система покоилась(ω=0), то при  t=0, с₁=0, а следовательно (с₁=L_z0=0)

L_z=М_вр t.          (2)

Кинетический момент системы, состоящей из шара и материальной точки:L_z=L_z1=L_z2, где L_z1 и L_z2- кинетический момент шара и точки соответственно.

Кинетический момент шара L_z1=I_z1*ω, где I_z1- осевой момент инерции шара. I_z1=0.4m₁R², тогда L_z1=0,4m₁R²ω.