Исследование вынужденных колебаний в электрическом контуре

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 79

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ

Цель работы: Измерить зависимость амплитуд напряжения на конденсаторе и силы тока в контуре от частоты внешнего напряжения; определить резонансные характеристики контура.

1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

Чтобы вызвать вынужденные электрические колебания надо последовательно с элементами контура, состоящего из катушки индуктивности  L, конденсатора емкостью  C  и активного сопротивления  R, включить переменную  э. д. с.  или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (рис. 1).

U_внеш = U₀cos(wt),                                       (1)

где  U₀ – амплитуда (максимальное значение) внешнего напряжения.

Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор (левую обкладку на рис. 1). Тогда сила переменного тока

,                                                (2)

где  q – заряд левой обкладки конденсатора.

Для цепи запишем закон Ома

JR = j₁ – j₂ + e_s + U_внеш,                                (3)

где  j₁ – j₂ = –U = – – напряжение на конденсаторе,  e_s =  – э. д. с. самоиндукции в катушке. С учетом этих соотношений и после подстановки (1) в (2) из уравнения (3) получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно величины  q, которое называется дифференциальным уравнением вынужденных колебаний:

, (4)

где  b – коэффициент затухания; w₀ – собственная частота колебаний в контуре (частота свободных незатухающих колебаний в контуре с  R = 0). Для колебательного контура

,    ,                                    (5)

Для практических целей удобнее рассматривать в качестве переменной величины не заряд, а напряжение на конденсаторе  U. Тогда из (4) будем иметь

.                            (6)

Это уравнение отличается от дифференциального уравнения свободных затухающих колебаний только наличием ненулевой правой части, поэтому его общее решение будет иметь вид суммы общего решения уравнения затухающих колебаний и частного решения уравнения (6). При этом первое слагаемое с течением времени становится пренебрежимо мало, а второе слагаемое, которое называют уравнением вынужденных установившихся колебаний, не зависит от начальных условий. Будем искать это частное решение в виде

U = U_mcos(wt – y).                                      (7)

Для определения амплитуды  U_m  и фазы  y (так называют разность фаз между внешним воздействием и смещением) вынужденных колебаний воспользуемся методом векторных диаграмм. В его основе лежит взаимно однозначное соответствие между процессом колебаний, описываемым уравнением    x = Acos(wt + j)    и проекцией на ось  х  вращающегося против часовой стрелки вектора  длиной  А  с угловой скоростью  w, который в начальный момент времени расположен под углом  j  к оси  х (рис. 2).

С помощью правил дифференцирования тригонометрических функций представим все слагаемые в левой части (6) в одинаковом функциональном виде (отличие будет только в амплитудах и начальных фазах). Из (7) следует

В соответствии с методом векторных диаграмм эти три слагаемые соответствуют векторам с длинами  , 2bwU_m,    и расположенных (в начальный момент времени) под углами  –y, ,  p – y  к оси  х. В соответствии с (6) их сумма равна вектору с длиной  , который расположен параллельно оси  х. На рис. 3 представлены все три вектора и их сумма. По теореме Пифагора

.

Из этого соотношения и из треугольника  ОАВ  следуют соотношения для амплитуды и фазы вынужденных колебаний

                               (8а)

                                         (8б)

В правильности полученных соотношений можно убедиться прямой подстановкой (7) с учетом (8а) и (8б) в (6).

Амплитуда вынужденных колебаний немонотонно зависит от частоты внешнего напряжения  w. Она имеет локальные минимумы при  w = 0 (U_m0 = U₀) и при  w ® ¥ (U_m¥ ® 0), а также максимум, для определения положения которого достаточно методами математического анализа найти значение  w (w_р), при котором подкоренное выражение в знаменателе правой части уравнения (8а) имеет минимум. После простых расчетов получим

.                               (9)

Последнее равенство в (9) верно для колебательного контура.

В практически важном случае, когда затухание мало (b << w₀) имеем  w_р  w₀.

Для колебательного контура после подстановки (5) из (8а, б) получим

,                              (10а)

,                                       (10б)

Зависимость силы тока в контуре от времени следует из (2) и (7)

, где  J_m = wCU_m – амплитуда силы тока;  – начальная фаза силы тока. С учетом этого из (10а, б) получим

.                    (11)

Из (11) следует, что  J_m  достигает максимального значения при  w = w₀ (напомним, что максимум для  U_m  наблюдается при  w_р < w₀).

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний (в нашем случае J_m и U_m) при совпадении частоты внешнего периодического воздействия (w) с собственной частотой системы (w₀) называется резонансом. Частоту  w₀  поэтому также называют резонансной частотой. Отличие  w_р  от  w₀  несущественно, т. к. резкое возрастание (как будет показано дальше) возможно только в случае слабого затухания (b << w₀), когда  w_р » w₀. Найдем отставание по фазе  j  силы тока в контуре от напряжения внешнего источника при резонансе (т. е. при  w = w₀)