Математические модели сигнала. Представление сигнала в базисе функций Уолша. Спектральный анализ сигналов. Дискретизация непрерывных сигналов

1.4.                Контрольное задание № 1

1.4.1. Математические модели сигнала

В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.

Требуется:

Записать математическую модель сигнала  через временные интервалы и на непрерывной оси времени с помощью комбинаций (суммы и произведений) функций Хевисайда.

Таблица 1.2

Вариант	Сигнал	Вариант	Сигнал
0		5
1		6
2		7
3		8
4		9

Таблица 1.3

Подвариант	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	10	8	4	2	1	10	8	4	2	1
	1	2	3	4	5	5	4	3	2	1
	3	6	9	12	15	20	16	12	8	4

   1.4.2. Представление сигнала в базисе функций Уолша

Аппроксимируйте сигнал  в базисе 8 ФУ , n = 0,...,7. Форма сигнала задана в табл.1.4, а параметры приведены в табл.1.5.

Требуется:

а) определить спектр и построить спектральную диаграмму для заданного  и ;

б) синтезировать сигнал на интервале [0, 1] и построить на одном графике заданную и аппроксимированную функцию для ;

в) рассчитать норму и энергию (на сопротивлении 1 Ом) исходного и аппроксимированного сигнала (c периодом Т = 1 мс);

г) определить относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации.

Таблица 1.4

Вариант	Сигнал
	График	Аналитическая запись
0
1
2
3
4
5

Окончание табл. 1.4

Вариант	Сигнал
	График	Аналитическая запись
6
7
8
9

Таблица 1.5

Подвариант	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1/16	2/16	3/16	4/16	5/16	6/16	7/16	8/16	9/16	10/16
или , В	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1

2.4.   Контрольное задание № 2

2.4.1. Спектральный анализ сигналов

В табл.1.2 заданы варианты импульсных сигналов , а в табл.1.3 – их параметры.

Требуется:

а) определить спектральную плотность  сигнала . Построить спектральные диаграммы модуля  и фазы , диаграмму энергетического спектра ;

б) найти ширину “лепестка” спектра сигнала; для вариантов 1, 3…9 также ширину “лепестка” спектра одиночного импульса, входящего в состав сигнала;

в) вычислить энергию сигнала;

г) рассчитать коэффициенты  и  комплексного и тригонометрического ряда Фурье для периодического сигнала , полученного путем повторения заданного сигнала  с периодом . Построить соответствующие спектральные диаграммы  и .

    Методические указания

При выполнении первого пункта задания следует иметь в виду, что непосредственное применение прямого преобразования Фурье для некоторых вариантов приводит к сложному и громоздкому интегрированию. Поэтому для получения результата наиболее простым путем целесообразно использовать теоремы о спектрах (см. прил. П.4), например теоремы о спектре суммы и производной сигналов. После n-кратного дифференцирования сигнала, описываемого кусочно-линейными функциями времени, результат выражается с помощью различных комбинаций функций Хевисайда  и Дирака , спектральные плотности которых хорошо известны [1]. Кратность дифференцирования n следует выбирать такой, чтобы не потребовалось дифференцировать функцию .

При выполнении четвертого пункта следует учесть известную связь между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодического сигнала (см. формулы (2.10) и (2.5)).

2.4.3. Дискретизация непрерывных сигналов

В табл.1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить максимальную частоту  в спектре сигнала (воспользоваться энергетическим критерием);

б) определить интервал дискретизации (Найквиста);

в) построить график дискретизированного сигнала, если за дискретизирующую систему функций принята последовательность дельта- импульсов d(t);

г) определить спектр  дискретизированного в соответствии с п. “в” сигнала. Построить диаграмму спектральной плотности .

4.4.                Контрольное задание № 3

4.4.2. Закон распределения

Стационарный случайный процесс  описан плотностью вероятности (табл. 4.3); параметры функции  приведены в табл. 4.4.

Требуется:

а) получить выражение для функции распределения ;

б) построить график ;

в) найти выражение для характеристической функции  и энтропии Н.

    Методическое указание

Характеристики и параметры различных законов распределения приведены в [8, 9], а нормального закона – в прил. П.7.

Таблица 4.3

Номер вариа-нта	Закон распределения	Плотность вероятности
		Аналитическая запись	График
1	Равномерный
2	Нормальный (Гаусса)
3	Коши	,
4	Релея	,
5	Экспоненциальный	,
6	Лапласа	,

Окончание табл. 4.3.

Номер варианта	Закон распределения	Плотность вероятности
		Аналитическая запись	График
7	Симпсона (треугольный)
8	Арксинуса	,
9		,
0	Усеченный нормальный

Таблица 4.4

Параметр	Номер подварианта
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0.0	0.1	0.15	0.20	0.25	0.3	0.0	0.1	0.15	0.2
	0.31	0.25	0.20	0.15	0.10	0.0	0.0	0.1	0.10	0.2
, B	0.2	0.4	0.60	0.80	1.00	1.2	1.4	1.6	1.80	2.0
, B	1.2	1.6	2.00	2.40	2.80	3.2	3.6	4.0	4.40	4.8
, B	0.0	0.0	0.00	0.50	0.50	0.5	1.0	1.0	1.00	2.0
, B	0.5	1.0	2.00	0.50	1.00	2.0	0.5	1.0	2.00	2.0
, B	0.5	1.0	2.00	0.50	1.00	2.0	0.5	1.0	2.00	2.0
, B	0.0	0.0	0.00	0.50	0.50	0.5	1.0	1.0	1.00	2.0
, 1/B	0.5	1.0	1.50	2.00	2.50	3.0	3.5	4.0	4.50	5.0
, B	5.0	4.5	4.00	3.50	3.00	2.5	2.0	1.5	1.00	0.5

4.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность

В табл. 4.5 задан процесс . При описании  приняты следующие обозначения:

 и  – детерминированные функции времени, описываемые с помощью постоянных параметров , , , ,  и (табл. 4.5);

 и  – некоррелированные случайные величины с известными математическими ожиданиями  и  и дисперсиями  и ;

 и  – некоррелированные эргодические случайные процессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания  и  дисперсии  и  и автокорреляционные функции  и .

Требуется:

а) определить математическое ожидание , дисперсию  и корреляционную функцию процесса ;

б) классифицировать процесс  по признакам стационарности и эргодичности.

Таблица 4.5

Номер варианта		Номер варианта
0		0
1	+	1
2		2
3	+	3
4	+	4
5		5
6		6
7		7
8		8
9		9

3.4.  Контрольное  задание  № 4

Каждая задача в третьем задании также содержит 10 вариантов и 10 подвариантов. Номер подварианта определяется так же, как и в других заданиях, а номер варианта определяется иначе. Он совпадает с порядковым номером фамилии студента в списке группы, причем, если номер нечетный, то студент решает задачу под пунктом “А”, а если четный – то “Б”.

3.4.1.  Многоканальная система радиосвязи

А

Определите относительную полосу частот  и длины волн  и , в пределах