Математические модели сигнала. Представление сигнала в базисе функций Уолша. Спектральный анализ сигналов. Дискретизация непрерывных сигналов

1.4.                Контрольное задание № 1

1.4.1. Математические модели сигнала

В табл. 1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсного сигнала.

Требуется:

Записать математическую модель сигнала  через временные интервалы и на непрерывной оси времени с помощью комбинаций (суммы и произведений) функций Хевисайда.

Таблица 1.2

Таблица 1.3

   1.4.2. Представление сигнала в базисе функций Уолша

Аппроксимируйте сигнал  в базисе 8 ФУ , n = 0,...,7. Форма сигнала задана в табл.1.4, а параметры приведены в табл.1.5.

Требуется:

а) определить спектр и построить спектральную диаграмму для заданного  и ;

б) синтезировать сигнал на интервале [0, 1] и построить на одном графике заданную и аппроксимированную функцию для ;

в) рассчитать норму и энергию (на сопротивлении 1 Ом) исходного и аппроксимированного сигнала (c периодом Т = 1 мс);

г) определить относительную среднеквадратическую ошибку аппроксимации.

Таблица 1.4

Окончание табл. 1.4

Таблица 1.5

2.4.   Контрольное задание № 2

2.4.1. Спектральный анализ сигналов

В табл.1.2 заданы варианты импульсных сигналов , а в табл.1.3 – их параметры.

Требуется:

а) определить спектральную плотность  сигнала . Построить спектральные диаграммы модуля  и фазы , диаграмму энергетического спектра ;

б) найти ширину “лепестка” спектра сигнала; для вариантов 1, 3…9 также ширину “лепестка” спектра одиночного импульса, входящего в состав сигнала;

в) вычислить энергию сигнала;

г) рассчитать коэффициенты  и  комплексного и тригонометрического ряда Фурье для периодического сигнала , полученного путем повторения заданного сигнала  с периодом . Построить соответствующие спектральные диаграммы  и .

    Методические указания

При выполнении первого пункта задания следует иметь в виду, что непосредственное применение прямого преобразования Фурье для некоторых вариантов приводит к сложному и громоздкому интегрированию. Поэтому для получения результата наиболее простым путем целесообразно использовать теоремы о спектрах (см. прил. П.4), например теоремы о спектре суммы и производной сигналов. После n-кратного дифференцирования сигнала, описываемого кусочно-линейными функциями времени, результат выражается с помощью различных комбинаций функций Хевисайда  и Дирака , спектральные плотности которых хорошо известны [1]. Кратность дифференцирования n следует выбирать такой, чтобы не потребовалось дифференцировать функцию .

При выполнении четвертого пункта следует учесть известную связь между спектральной плотностью одиночного импульса и спектром периодического сигнала (см. формулы (2.10) и (2.5)).

2.4.3. Дискретизация непрерывных сигналов

В табл.1.2 и 1.3 заданы варианты и подварианты импульсных сигналов S(t).

Требуется:

а) вычислить максимальную частоту  в спектре сигнала (воспользоваться энергетическим критерием);

б) определить интервал дискретизации (Найквиста);

в) построить график дискретизированного сигнала, если за дискретизирующую систему функций принята последовательность дельта- импульсов d(t);

г) определить спектр  дискретизированного в соответствии с п. “в” сигнала. Построить диаграмму спектральной плотности .

4.4.                Контрольное задание № 3

4.4.2. Закон распределения

Стационарный случайный процесс  описан плотностью вероятности (табл. 4.3); параметры функции  приведены в табл. 4.4.

Требуется:

а) получить выражение для функции распределения ;

б) построить график ;

в) найти выражение для характеристической функции  и энтропии Н.

    Методическое указание

Характеристики и параметры различных законов распределения приведены в [8, 9], а нормального закона – в прил. П.7.

Таблица 4.3

Окончание табл. 4.3.

Таблица 4.4

4.4.3. Моментные функции. Стационарность и эргодичность

В табл. 4.5 задан процесс . При описании  приняты следующие обозначения:

 и  – детерминированные функции времени, описываемые с помощью постоянных параметров , , , ,  и (табл. 4.5);

 и  – некоррелированные случайные величины с известными математическими ожиданиями  и  и дисперсиями  и ;

 и  – некоррелированные эргодические случайные процессы, которые соответственно имеют известные математические ожидания  и  дисперсии  и  и автокорреляционные функции  и .

Требуется:

а) определить математическое ожидание , дисперсию  и корреляционную функцию процесса ;

б) классифицировать процесс  по признакам стационарности и эргодичности.

Таблица 4.5

3.4.  Контрольное  задание  № 4

Каждая задача в третьем задании также содержит 10 вариантов и 10 подвариантов. Номер подварианта определяется так же, как и в других заданиях, а номер варианта определяется иначе. Он совпадает с порядковым номером фамилии студента в списке группы, причем, если номер нечетный, то студент решает задачу под пунктом “А”, а если четный – то “Б”.

3.4.1.  Многоканальная система радиосвязи

А

Определите относительную полосу частот  и длины волн  и , в пределах