Прохождение случайных процессов через линейные радиоцепи

В действительности все не так,

как на самом деле.

Станислав Ежи Лец

 глава 7

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ РАДИОЦЕПИ

7.1.         Изучаемые вопросы

Спектральная плотность мощности (СПМ) и корреляционная функция стационарного случайного процесса на выходе линейной цепи. Средняя мощность колебаний на выходе. Корреляция между входным и выходным процессами в установившемся режиме. Воздействие белого шума на линейные цепи. Нормализация случайного процесса в линейной цепи. Дифференцирование и интегрирование случайных процессов. Распределение огибающей гауссова процесса и смеси гармонического сигнала с гауссовым шумом [1, гл.7, 4.6; 2, гл.10, 7.3; 3, гл.19].

Указания. Вопросы анализа случайных процессов (СП) в линейных цепях подробно рассмотрены в [1, 3,11]. Руководства [5…9] содержат большое количество задач с комментариями и решениями.

Большинство встречающихся на практике задач можно разделить на два класса. К первому относят задачи, связанные с определением динамических характеристик выходного процесса (его автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности), а также взаимной корреляции случайных процессов (на входе и выходе цепи, на выходах различных цепей при общем входном воздействии и т. п.). Задачи второго класса посвящаются определению плотностей распределения вероятностей мгновенных значений выходного процесса.

В настоящей главе будут рассмотрены задачи, связанные с анализом случайных процессов на выходах линейных стационарных цепей, когда на входы цепей воздействуют стационарные в широком смысле случайные процессы. При этом обычно предполагается, что переходные процессы в цепи закончились (или, что эквивалентно, случайный процесс присутствует на входе цепи с момента времени ).

Задачи, связанные с плотностью распределения вероятностей мгновенных значений СП, будут рассматриваться лишь для частного, хотя и важного, случая гауссова процесса.

7.2.         Краткие теоретические сведения

Если нестационарность СП  выражается лишь в непостоянстве математического ожидания , то можно, имея в виду принцип суперпозиции, анализировать отдельно прохождение через линейную цепь детерминированной функции  и флюктуационной составляющей случайного процесса. При этом

где  – математическое ожидание выходного процесса ;  – импульсная характеристика цепи.

Если процесс  на входе цепи стационарен в широком смысле с автокорреляционной функцией , то автокорреляционная функция выходного процесса

где  – автокорреляционная функция импульсной характеристики цепи.

Взаимная корреляционная функция входного и выходного процессов

Если один и тот же СП воздействует на входы цепей с импульсными характеристиками  и , то для процессов  и  на их выходах взаимная корреляционная функция

Учитывая, что динамические свойства стационарного в широком смысле процесса могут быть описаны как корреляционной функцией, так и спектральной плотностью мощности, можно анализ прохождения таких процессов через линейные цепи проводить в частотной области. Так, СПМ процесса

где  – СПМ процесса ;  – передаточная функция цепи.

Целесообразный метод расчёта спектрально-корреляционных характеристик СП в линейной цепи с минимальным числом интегральных преобразований можно выбрать при помощи схемы (графа), показанной на рис.  7.1.

Рис. 7.1

Взаимная СПМ входного и выходного процессов

а взаимная СПМ процессов  и  на выходах двух цепей, возбуждаемых одним и тем же процессом ,

Напомним, что СПМ стационарного в широком смысле СП связана с его автокорреляционной функцией парой преобразований Фурье (теорема Винера-Хинчина). То же справедливо для взаимных корреляционных функций и взаимных СПМ.

Числовыми характеристиками, дающими некоторое представление о динамике случайного процесса, являются эффективная ширина спектра и интервал корреляции.

Иногда употребляют числовую характеристику цепи, называемую шумовой полосой. По определению шумовая полоса линейной цепи с передаточной функцией  – это полоса пропускания такого идеального ФНЧ (с прямоугольной АЧХ), который при воздействии белого шума обеспечивает такую же дисперсию выходного процесса, как и данная цепь

,

где  – максимальное значение АЧХ цепи.

Анализ распределения вероятностей выходного СП в общем случае весьма сложен. Достаточно просто эта задача решается в случае узкополосной цепи. Тогда при любом распределении входного СП распределение вероятностей выходного процесса сходится к нормальному и гауссово приближение тем точнее, чем более справедливо допущение о некоррелированности значений входного СП (или чем ближе СПМ входного процесса к константе в полосе пропускания цепи). Если же входной процесс гауссов, то и СП на выходе линейной цепи гауссов независимо от формы СПМ и характеристик цепи. В указанных случаях для нахождения полного вероятностного описания СП на выходе цепи достаточно найти математическое ожидание и автокорреляционную функцию выходного процесса.