Прохождение случайных процессов через линейные радиоцепи, страница 2

Практическое значение имеет нахождение распределения огибающей узкополосного гауссова процесса. Эта задача возникает, например, при анализе вероятности превышения некоторого порога процессом на выходе амплитудного детектора (нелинейного устройства!), когда на его вход поступает процесс с выхода полосового фильтра.

Если гауссов процесс является чисто шумовым, т. е. его квадратурные компоненты представляют собой некоррелированные гауссовы СП с нулевыми средними и одинаковыми СКО s, то огибающая А имеет рэлеевскую плотность распределения вероятностей

а если рассматриваемый процесс есть сумма гармонического сигнала амплитуды  c гауссовым шумом, то огибающая имеет обобщённую рэлеевскую плотность (плотность Рэлея-Райса)

где  – бесселева функция мнимого аргумента нулевого порядка. При больших отношениях сигнал/шум (ОСШ)  распределение Рэлея-Райса сходится к нормальному распределению с математическим ожиданием  и дисперсией .

7.3.         Задачи

1. На вход цепи с импульсной характеристикой

действует шум с АКФ

.

Докажите, что АКФ процесса на выходе цепи

где , а .

2. Транзисторный усилитель с резонансной нагрузкой в виде параллельного контура  имеет АЧХ

.

Найдите СПМ, АКФ, дисперсию выходного процесса, если на входе действует белый шум с СПМ .

3. Найдите в общем виде выражение для взаимной корреляционной функции процессов на выходах двух цепей с импульсными характеристиками  и , когда на их входы воздействует один и тот же белый шум с СПМ .

4. Найдите взаимную корреляционную функцию процессов на выходах интегрирующих RC-цепей с постоянными времени  и , на входы которых воздействует белый шум с СПМ .

5. Найдите значение взаимной корреляционной функции процессов на входе и выходе идеального дифференциатора, соответствующее нулевому аргументу.

6. Предложите критерий дифференцируемости СП, учитывая, что процесс на выходе идеального дифференциатора при воздействии на его вход дифференцируемого процесса должен иметь ограниченную мощность.

7. Найдите значение взаимной корреляционной функции процессов на входе и выходе идеального интегратора, соответствующее нулевому аргументу.

8. Докажите, что если случайный процесс  воздействует на цепь с передаточной функцией , то процесс на выходе цепи (называемый сопряжённым по Гильберту) не коррелирован с  в совпадающие моменты времени.

9. Докажите, что два узкополосных процесса, сформированных из белого шума двумя полосовыми фильтрами с неперекрывающимися полосами пропускания, некоррелированны.

10. Наблюдение стационарного СП  сопровождается случайными ошибками, что эквивалентно наблюдению СП =+, где – стационарный шум наблюдения, некоррелированный с.

Выразите АКФ процесса  через АКФ процессов  и .

11. В условиях предыдущей задачи выразите СПМ  процесса  через СПМ  и  процессов  и . По известным  и  можно найти .

Означает ли это, что таким способом можно избавиться от ошибок наблюдения?

12. а) Предложите схему устройства для экспериментального определения импульсной характеристики цепи с использованием источника белого шума.

б) Предложите аналогичную схему для определения АКФ импульсной характеристики цепи .

13. Полосовой фильтр с АЧХ вида

находится под воздействием белого шума с СПМ . Найдите АКФ процесса на выходе.

14. На вход линейной цепи с импульсной характеристикой  действует белый шум с СПМ .

Определите в общем виде дисперсию выходного процесса.

15. Линейная стационарная цепь описывается дифференциальным уравнением

где  – стационарный процесс с математическим ожиданием .

Найдите математическое ожидание  процесса .

16. На вход линейной цепи с АЧХ  воздействует белый шум с СПМ .

Найдите вероятность того, что мгновенное значение выходного процесса превысит пороговый уровень С.

17. Процесс  равен сумме процессов  и его производной .

Найдите автокорреляционную функцию процесса , если автокорреляционная функция СП

.

18. Определите эффективную ширину спектра и интервал корреляции СП на выходе интегрирующей RC-цепи с постоянной времени , если на её вход воздействует белый шум.

19. Найдите произведение эффективной ширины спектра на интервал корреляции для процесса на выходе интегрирующей RC-цепи при воздействии на её вход белого шума. Зависит ли оно

от параметров цепи? Сохраняется ли это свойство для произвольной цепи?

20. Найдите в общем виде шумовую полосу простейшего RC-фильтра нижних частот.

21. Найдите шумовую полосу двух каскадно-соединённых RC-фильтров НЧ при условии идеальной развязки.

22. На вход детектора огибающей поступает смесь гармонического сигнала амплитуды 1 В и гауссова шума с СКО 0.1 В.

Считая отношение сигнал-шум большим, найдите вероятность того, что мгновенное значение СП на выходе детектора превысит пороговый уровень 0.5 В.

23. Превышение порогового уровня шумом (“ложная тревога”) и непревышение его смесью сигнала и шума (“пропуск”) представляют собой ошибки обнаружения сигнала.