Элементы синтеза линейных стационарных цепей

Наука изощряет ум;

Ученье вострит память.

Козьма Прутков

 глава 15

ЭЛЕМЕНТЫ СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЦЕПЕЙ

15.1.  Изучаемые вопросы

Синтез аналоговых двухполюсников [2, 13.1, 13.2]. Синтез стационарных четырехполюсников по заданной АЧХ. Фильтры Баттерворта и Чебышева [2, 13.3¼13.5; 1, 15.1, 15.4¼15.8; 24, 2.11, 2.01¼4.06, 7.07, 8.04, 8.14].

Указания. При изучении вопросов необходимо четко уяснить неоднозначность решения задачи синтеза двухполюсников и конкретные пути решения задачи по Фостеру и Кауэру, а также приобрести умение определить возможность реализации той или иной функции входного сопротивления двухполюсника. При синтезе электрических фильтров на основе фильтров-прототипов важно понимать преимущества и недостатки аппроксимации характеристик затухания по Чебышеву и Баттерворту. Необходимо уметь быстро с помощью формул частотных преобразований рассчитывать параметры элементов любых типов фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ППФ).

15.2.  Краткие теоретические сведения

В теории цепей принято говорить о структурном и параметрическом синтезе. Главной задачей структурного синтеза является выбор структуры (топологии) цепи, удовлетворяющей наперед заданным свойствам. При параметрическом синтезе определяются лишь параметры и тип элементов цепи, структура которой известна. Далее речь пойдет только о параметрическом синтезе.

В качестве исходного при синтезе двухполюсников обычно используют входное сопротивление

Если задана функция , то она может быть реализована пассивной цепью при выполнении следующих условий: 1) все коэффициенты многочленов числителя и знаменателя вещественны и положительны; 2) все нули и полюсы находятся либо в левой полуплоскости, либо на мнимой оси, причем полюсы и нули на мнимой оси простые; данные точки всегда либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары; 3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя отличаются не более чем на единицу. Следует отметить также, что процедура синтеза не является однозначной, т. е. одну и ту же входную функцию можно реализовать несколькими способами.

В качестве исходных структур синтезируемых двухполюсников обычно используют цепи Фостера, представляющие собой последовательное либо параллельное соединение относительно входных зажимов соответственно нескольких комплексных сопротивлений и проводимостей, а также лестничных цепей Кауэра [2].

Метод синтеза двухполюсников основан на том, что заданная входная функция  или  подвергается ряду последовательных упрощений. При этом на каждом этапе выделяется выражение, которому ставят в соответствие физический элемент синтезируемой цепи. Если все компоненты выбранной структуры идентифицированы с физическими элементами, то задача синтеза решена.

Синтез четырехполюсников базируется на теории фильтров-прототипов нижних частот [2]. Возможные варианты прототипа ФНЧ показаны на рис. 15.1.

При расчете может быть использована любая из схем, так как их характеристики идентичны. Обозначения на рис. 15.1 имеют следующий смысл:  – индуктивность  последовательной катушки или емкость  параллельного конденсатора;  – сопротивление генератора , если , или проводимость генератора , если ;  – сопротивление нагрузки , если  или проводимость нагрузки , если .

Рис. 15.1

Величины элементов прототипов нормируют так, чтобы  и частота среза . Переход от нормированных фильтров-прототипов к другому уровню сопротивлений и частот осуществляется с помощью следующих преобразований элементов цепи:

 или ;

;

.

Величины со штрихами относятся к нормированному прототипу, а без штриха – к преобразованной цепи. Исходной величиной при синтезе является рабочее затухание мощности, выраженное в децибелах:

, дБ,

 – максимальная мощность генератора с внутренним сопротивлением  и эдс ,  – выходная мощность в нагрузке.

Обычно частотную зависимость  аппроксимируют максимально плоской (баттервортовской) характеристикой (рис. 15.2, а)

, дБ,

где .

Рис. 15.2

Величину рабочего затухания , соответствующую частоте среза , обычно выбирают равной 3 дБ. При этом . Параметр n равен числу активных элементов цепи и определяет порядок фильтра.

Величины элементов максимально плоских фильтров, нагруженных на активное сопротивление на входе и выходе и имеющих дБ,  и , определяют из выражений

;

, .

Широкое распространение получила также равнопульсирующая аппроксимация Чебышева (см. рис. 15.2, б)

,

где  – полином Чебышева n-го порядка для , , , ,  и т. д.,  для ; .

Полиномы n-го порядка могут быть найдены с помощью рекуррентного соотношения. Основное преимущество чебышевских фильтров по сравнению с максимально плоскими (Баттерворта) – меньшее число элементов, требующееся для обеспечения одинакового затухания на заданной частоте вне полосы пропускания.