Информатика и выч. техника \ Цифровая обработка сигналов

Формирование инвариантных признаков для распознавания иероглифов на основе спектральных методов, страница 5

Двойчно – упорядоченные, или функции Уолша-Пэли, могут быть получены из функций Радемахера , которые, являясь подмножеством системы Уолша, образуют неполное множество периодических ортогональных функций и определяются как

(1.2.2)

или

где означает целую часть от

Рис. 1.2.1. Функции Радемахера .

На рис. 1.2.1 показаны первые четыре функции Радемахера, которые, являясь нечетными, аналогично функциями Уолша принимают два значения +1 и –1.

Запишем выражение для функций Уолша-Пэли в виде произведения функций Радемахера

(1.2.3)

где

Например, если то Для произведения двух соответствующих функций Уолша-Пэли будем иметь

(1.2.4)

где -операция сложения по модулю два; Из формулы (1.2.3) и определения функций Радемахера следует

(1.2.5)

Тогда получим следующее рекуррентное соотношение для системы Уолша – Пэли:

или

(1.2.6)

Для определения частотно-упорядоченных функций или Уолша – Качмажа используем четные функции Радемахера

(рис. 1.2.2) .

Рис. 1.2.2. Четные функции Радемахера .

(1.2.7)

В свою очередь для функций Радемахера справедливо соотношение

(1.2.8)

Функции Уолша - Качмажа определим в виде произведения соответствую- щих функций

(1.2.9)

Из (1.2.9) для будем иметь

(1.2.10)

Для функций Уолша- Качмажа справедливы следующие выражения:

(1.2.11)

(1.2.12)

Рекуррентное соотношение для системы Уолша – Качмажа будет иметь вид

(1.2.13)

где По аналогии с тригонометрическими функциями функции Уолша – Качмажа подразделяются на четные и нечетные

(1.2.14)

(1.2.15) или

(1.2.16)

Теорему умножения для (1.2.14) и (1.2.15) можно записать следующим образом:

(1.2.17)

Третья система- функции Уолша- Адамара. Они могут быть получены из квадратных ортогональных матриц размерностью с элементами +1 и –1, определяемых рекуррентно в виде

Для

Элементы матрицы вычисляются по формуле

Функции Уолша – Адамара могут быть также определены [] как

(1.2.18)

или в виде произведения соответствующих функций Радемахера

(1.2.19)

Из (1.2.19) для имеем

(1.2.20)

Элементы матрицы Адамара размерностью можно найти из элементов этой матрицы меньшей размерности с помощью соотношения

Тогда можно определить рекуррентное соотношение, справедливое для системы Уолша – Адамара:

(1.2.21)

Для функций Уолша одной группы справедлива следующая теорема умножения:

(1.2.22)

Рассмотрим теперь вопрос отображения различных систем функций Уолша. Подставляя (1.2.8) в (1.2.9), получаем отображение системы Уолша – Пэли на систему Уолша – Качмажа:

(1.2.23) т.е.