Исследование явления переноса. Решение системы дифференциальных уравнений, описывающих распределение температуры и поле скорости движения жидкости

Цель работы: Исследование явления переноса.

Задание: Решить систему дифференциальных уравнений, описывающих распределение температуры и поле скорости движения жидкости.

Графическая постановка задачи:

Математическая постановка задачи для температуры:

                                                                                      (1)

Граничные условия:

                                                                                        (2)

Математическая постановка задачи для поля скорости:

                                                                      (3)

 граничные условия: V(±a)=0                                                 (4)

Решение:

Прежде всего найдем выражения для каждой из температур, в соответствии с заданными f_i(x) = (sin(x), cos(x), ln(x)):

Соответственно производные:

Теперь найдем интересующие нас коэффициенты, а т.е. C21, C22, ведь нам нужно узнать как ведет себя температура и поле скорости в канале (-а до а). Пользуясь граничными условиями (2) для температур, находим коэффициенты. Решение задачи удобнее всего производить пользуясь программным комплексом Maple версии 5 или 6. Из-за большого размера найденных коэффициентов, в отчете они не отображаются, пронаблюдать их можно в листинге программы.

Теперь найдем выражение для скорости:

Чтобы найти неизвестные коэффициенты, появившиеся при интегрирование, воспользуемся граничными условиями (4). В результате получим:

Рассмотрим несколько частных случаев:

Зададим a = 10, b=10, c=10, Tg1=300, Tg2 = 300, lambda1=0.9, lambda2=0.9, lambda3=0.9, alpha1=1, alpha2=1, P=10, g=9.81, G11=1, G12=1, G21=-1, G22=-1, G31=1, G32 = 1

Тест на верность постановки модели: зададимся условиями когда мы знаем чего ожидать:

1) qv_i=0

2) qv₁=0, qv₃=0;