Матрицы рассеяния. Основные положения применения матриц рассеяния в СВЧ технике

Лекция 3.

Матрицы рассеяния.

С точки зрения СВЧ техники введение матриц сопротивлений и проводимостей для анализа цепей СВЧ неудобно, так как основными измеряемыми величинами на сверхвысоких частотах является мощность и фаза, а также частота. Кроме того, по измерениям КСВН и фазы определяют значения коэффициента отражения . Поэтому удобнее рассматривать вместо волн напряжений и токов, нормированные падающие и нормированные отраженные волны.

Нормировка производится на основе пропорциональности амплитуд этих волн поперечным составляющим напряженностей электрического поля падающей и отраженной волн.

Для каждого входа многополюсника Р величина мощности подводимой ко входу равна

, а величина мощности, отраженной от входа ровна

Здесь ,  - комплексные амплитуды нормированных значений падающей и отраженной волн на р – ом входе многополюсника.

Матрица рассеяния [S] определяет соотношения между отраженными и падающими нормированными волнами.

Нормированная волна b_P , отраженная от входа р многополюсника, зависит от волн, падающих на все входы многополюсника

Рассматривая поочередно все входы, получим

или в матричной форме

символически

Что аналогично соотношению

для двухполюсника, где коэффициент отражения занимает место матрицы [S]. При последовательном соединении элементов в цепи удобно применять матрицу сопротивлений, при параллельном соединении – матрицу проводимостей.

При кскадном соединении, которое почти всегда применяется в СВЧ цепях более удобно использовать матрицу рассеяния.

Виды соединений четырехполюсников показаны на рис.

Рис.  Виды соединений четырехполюсников.

а) – последовательное.

б) – параллельное. в) – каскадное.

Произвольное соединение четврехполюсников можно представить как сочетание этих трех видов соединений [ ].

Основные свойства матрицы рассеяния.

1. Связь матрицы рассеяния с матрицами сопротивлений и проводимостей.

Исходя из того, что векторы  связаны соотношениями

можно показать [ ]

где [I] – единичная матрица,

[ I + S ] = [ I ] + [ S ], матрица [ Z` + I ] <sup>–1</sup> – обратная матрице [ Z` + I ].

Матрица [ A ] ^–1 называется обратной к матрице [ A ], если выполняется соотношение

,

Здесь adj [A] – присоединенная матрица для [A], то есть такая матрица, в которой строки заменены на столбцы, а элементы матрицы A_ij заменены на соответствующие алгебраические дополнения.

2. Свойства матриц рассеяния.

Если Z`<sub>pq</sub> = Z`_qp , то есть матрица [Z`] симметрична, то [S] симметрична, так как матрицы [Z` - I], [Z` + I] и [Z` + I]^-1 симметричны. Устройство в этом случае взаимно.

Если потерями в многополюснике можно пренебречь, то в случае изотропной среды его заполнения, то теорема Фостера запишется в виде             

Если многополюсник не имеет потерь, то матрица рассеяния унитарна [I] – [S]^H [S]  = 0 , где [S]^H  - комплексно сопряженная, транспонированная матрица.

Основные положения применения

матриц рассеяния в СВЧ технике.

При исследовании СВЧ устройств следует найти его матрицу рассеяния, а затем на основании ее определить свойства устройства.

При разработке нового СВЧ устройства следует, исходя из его назначения, определить требуемую матрицу рассеяния, а затем синтезировать цепь, имеющую заданную матрицу рассеяния.

Как устройство СВЧ многополюсник имеет столько входов, сколько в нем реальных волноводных ответвлений.

Если в каком-то ответвлении могут распространяться несколько типов волн, то каждому типу волны приписывается свой вход.

Во многих случаях одни элементы матрицы рассеяния определяются экспериментально, а другие путем расчета, основанном на свойствах симметрии или унитарности матрицы рассеяния для исследуемого устройства.

При известных значениях элементов матрицы рассеяния многополюсника S_ij и составляющих вектора можно легко найти вектор  .

В общем случае к устройству могут быть подключены генераторы и различного вида нагрузки, как показано на рис.      .

Рис.  Рабочая схема многополюсника.

Отраженные волны на активных входах равны

где и - коэффициенты отражения, измеренные на входах 1 и 4.

Значения входного параметра

Выражение  можно записать в виде системы из n  уравнений с n  неизвестными, которые могут быть определены через известные элементы матрицы рассеяния и параметры генераторов а₁ и а₂ .

При измерениях следует учитывать, что перенос плоскости отсчета в плече р на расстоянии d, в положительном направлении (к соединению) приводит к уменьшению фазы на величину