Анализ качественных признаков (Критерий χ2. Сравнение долей) (Лабораторная работа № 4)

Тема:Анализ качественных признаков

 (Критерий χ². Сравнение долей.)

Критерий χ² – это непараметрический критерий, является аналогом дисперсионного анализа для качественных признаков.

По имеющимся данным исследования строят таблицу сопряженности. Строки таблицы представляют собой сравниваемые факторы, а столбцы -  возможные исходы эксперимента. Подсчитывают число объектов в каждой строке и каждом столбце. Наблюдаемые значения обозначают буквой О (observed). Таблица сопряженности выглядит следующим образом (R_i – суммы в строках таблицы, C_j – суммы в столбцах таблицы, N – общий объем исследования, r-число строк, c-число столбцов):

Далее подсчитывают с точностью до двух знаков после запятой ожидаемые числа – количество объектов, которое попало бы в каждую клетку, если бы изучаемые факторы не влияли бы на исход. Ожидаемые значения обозначают буквой E (expected). Таблица ожидаемых чисел рассчитывается следующим образом (обратите внимание, что суммы по строкам и столбцам должны сохраниться):

По полученным таблицам рассчитывается значение критерия:

,

где О_ij – наблюдаемые значения в клетках таблицы, Е_ij – ожидаемые значения. Суммирование производится по всем клеткам таблицы.

Применение критерия χ² правомерно, если ожидаемые числа в любой из клеток больше либо равны 5.

Число степеней свободы ν=(r-1)(c-1).

В случае таблицы 2×2 в формулу вводят поправку Йейтса:

.

Пример. Изучение влияния дополнительного приема эстрогена на риск развития болезни Альцгеймера. В исследовании принимала участие группа из 1124 пожилых женщин, 156 из которых длительное время получали эстроген. Группа наблюдалась в течение пяти лет, регистрировались случаи болезни Альцгеймера. Результаты расчетов:

Рассчитанное значение больше критического, поэтому можем утверждать, что дополнительный прием эстрогена снижает риск развития болезни Альцгеймера (вероятность ошибки менее 0,1%).

Задание 1

1. Синдром внезапной детской смерти — основная причина смерти детей в возрасте от 1 недели до 1 года. Обычно смерть наступает на фоне полного здоровья незаметно, во сне, поэтому определение факторов риска имеет первостепенное значение. Исследователи собрали сведения о 18 955 детях, родившихся в одном из роддомов Окленда, штат Калифорния, с 1960 по 1967 г. Судьбу детей проследили до 1 года. От синдрома внезапной детской смерти умерли 44 ребенка. Данные о предполагаемых факторах риска представлены в таблице. Найдите признаки, связанные с риском синдрома внезапной детской смерти (два по выбору). По некоторым признакам данные отсутствуют, поэтому сумма в третьем столбце может оказаться меньше 44, а в четвертом — меньше 18955.

1.2. Проводилась оценка эффективности терапии для лечения синдрома хронической обеспокоенности. В исследовании принимало участие 150 человек, 60 из которых получали двухмесячную программу лечения. После  двух месяцев проводилась оценка состояния (ухудшилось, улучшилось, не изменилось). Результаты в таблице:

          Есть статистически значимые различия между группами? Что произойдет, если удвоить количество участников эксперимента при сохранении пропорций между группами? Рассчитайте. 

Оценка и сравнение долей

Пусть имеется выборка из n объектов, при этом m из них обладает каким-то качественным признаком, которого нет у остальных n-m объектов. Тогда доля объектов, выборки, обладающих признаком, вычисляется как p=m/n. Показатель разброса значений – стандартное отклонение доли – вычисляется по формуле: ; стандартная ошибка доли: .

Критерий z для проверки нулевой гипотезы о равенстве долей в двух выборках:

где - выборочные доли, - стандартная ошибка разности долей.

 Объединенная оценка доли:  

Стандартная ошибка разности долей вычисляется:

.

Для нахождения критических значений z необходимо воспользоваться таблицами значений стандартного нормального распределения. При увеличении числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к нормальному, поэтому критические значения z можно найти в последней строке таблицы распределения Стьюдента. Для α =0,05 z_0,05=1,96; для α=0,01 z_0,01=2,58.

С учетом этой поправки Йейтса формула для расчета z имеет вид:

.

Пример. Применим z-критерий для задачи о влиянии дополнительного приема эстрогена на риск развития болезни Альцгеймера. В группе принимавшей эстроген (n₁=156) количество заболевших составило 9 (m₁=9). Во второй группе (n₂=968) количество заболевших составило 158 (m₂=158).

Рассчитанное значение больше, чем z_0,01. Поэтому с уровнем значимости 0,01 можем утверждать, что между долями заболевших существуют статистически значимые различия.

Задание 1

Исследовалось влияние экзогенных стероидных гормонов во время беременность у 108 матерей детей с врожденными дефектами. Непреднамеренное использование оральных контрацептивов на ранних сроках беременности рассматривалось как основной фактор воздействия. У матерей больных детей отмечено употребление контрацептивов в 15 случаях, в контрольной группе (также 108 матерей) – в 4 случаях. Есть ли статистически значимые различия между группами?