Магнитный поток. Работа силы Ампера. Контур с током в магнитном поле. Энергия магнитного поля: Учебно-методическое обеспечение практического занятия

3.7. Магнитный поток.  Работа силы Ампера. 
Контур с током в магнитном поле.
Энергия магнитного поля  (2 часа)

3.7.1. Учебная цель занятия

Научить студентов применять следующие понятия и законы: Магнитный поток. Работа силы Ампера. Контур с током в магнитном поле.

3.7.2. Методические указания к проведению
занятия

Найти магнитный поток однородного и неоднородного магнитных полей.

Показать способы нахождения работы сил магнитного поля (сил Ампера) при различной ориентации контура с током в магнитном поле, энергии и плотности энергии магнитного поля, возникающего в соленоиде, при пропускании тока.

3.7.3. Рекомендуемая литература

[3] 5.4, 5.5, 5.9, 5.10;  [7] §3.

3.7.4. ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Пример 1. Вблизи бесконечного прямого провода расположена прямоугольная проволочная рамка со сторонами  мм и  мм. Рамка лежит в одной плоскости с проводом, причем стороны рамки длиной  мм параллельны проводу и ближайшая из них отстоит от провода на расстоянии  мм. Найти магнитный поток через рамку, если по бесконечному проводу течет ток силой  А.

Дано:	Решение
А;  мм м;  мм м;  мм м.  –?	Величина индукции магнитного поля бесконечного прямого тока зависит от расстояния  до тока, подчиняясь соотношению , т. е. поле не является однородным.

Следовательно, определяя магнитный поток через рамку, необходимо проводить интегрирование по всей площади рамки. Для интегрирования разобьем поверхность рамки на узкие полоски длиной  и шириной  (рис. 1.1). Площадь полоски . В пределах такой полоски поле можно считать однородным. Элементарный поток вектора  через площадь  

      ,

где  – вектор единичной нормали к поверхности.

 

Рис. 1.1

Магнитные силовые линии прямого тока – окружности, поэтому в любой точке плоскости рамки вектор  будет перпендикулярен плоскости рамки и .

Полный поток через поверхность рамки

                         .

Произведем вычисления:

      Вб.

Ответ:  Вб.

Пример 2. В однородном магнитном поле, индукция которого равна  мТл, находится плоская катушка радиусом  мм, содержащая  витков. Плоскость катушки составляет угол  с направлением вектора индукции. По виткам течет ток силой  А. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля? Сила тока в катушке все время остается неизменной.

Дано:	Решение
мТл Тл; ;  мм м; ; °;  А.  –?	На рис. 2.1 покажем расположение плоскости катушки в магнитном поле. Работа сил Ампера при перемещении катушки .

Работа внешней, например механической, силы при перемещении катушки

                            .

 

Рис. 2.1

Потокосцепление (полный поток) в начальном положении катушки

               .

Потокосцепление в конечном положении катушки

                                , так как .

Таким образом,

                         .

Произведем вычисления:

 Дж.

Ответ:  Дж.

Пример 3 Соленоид с железным сердечником длиной  см и площадью поперечного сечения  см² содержит  витков. По обмотке протекает ток силой  А. Магнитная проницаемость железа составляет . Определить энергию и объемную плотность энергии магнитного поля соленоида.

Дано:	Решение
см  м;  см2 м2; ;  А; .  –?	Энергия магнитного поля соленоида .            (3.1)

Индуктивность соленоида

                                        .                                        (3.2)

Подставим формулу (3.2) в выражение (3.1), получим

                                     .

Объемная плотность энергии

                                              .                                              (3.3)

Объем соленоида

                                              .                                               (3.4)

Подставим формулу (3.4) в выражение (3.3), получим

                                              .

Произведем вычисления

    Дж;

                    Дж/м³.

Ответ:  Дж/м³.

Пример 4. Средний радиус кольцевого (тороидального) железного сердечника  мм. В сердечнике имеется поперечный разрез длиной  мм (рис. 4.1). На сердечник намотан провод, по которому течет ток. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в воздушном зазоре сердечника, если немного разогнуть кольцо и увеличить длину зазора до  мм? Считать, что магнитная проницаемость железа остается неизменной и составляет . Рассеянием магнитного поля в воздушном зазоре пренебречь, ток обмотки не изменяется.

Дано:	Решение
; ; ; .  – ?	Для нахождения напряженности магнитного поля применяем закон полного тока: ;

                              ;                               (4.1)

Рис. 4.1

Считая, что силовые линии вследствие симметричности тороидальной катушки имеют форму окружностей, концентричных самому тору, проведем контур интегрирования  по средней линии тороида. Выберем направление обхода контура  так, чтобы оно совпадало с направлением силовых линий и тогда во всех точках интегрирования

                           и        .

Левая часть выражения (37.1)

     ,       4.2)

где  – напряженность магнитного поля на средней линии сердечника;  – напряженность магнитного поля на средней линии воздушного зазора;  – длина средней линии сердечника;  – длина средней линии воздушного зазора. Причем,

                                        .                                        (4.3)

Правая часть выражения (4.1)

                                           .                                           (4.4)

Таким образом, подставляя выражения (4.2) и (4.4) в формулу (4.1), получим

                                  .                                  (4.5)

Индукция связана с напряженностью:

                   ;            .                   (4.6)

Подставим выражения (4.6) и (4.2) в формулу (4.5), получим

                          .                           (4.7)

Так как магнитные силовые линии непрерывны, то значения магнитного потока внутри сердечника и внутри зазора одинаковые:

                         ;          .

По условию рассеянием магнитного поля в воздушном зазоре пренебрегаем, т. е. , поэтому

                                            .                                            (4.8)

Из выражения (4.7) с учетом формулы (4.8) получаем индукцию магнитного поля в воздушном зазоре:

                               .

Для случая с другим воздушным зазором  аналогично получим