Теплоёмкость твёрдых тел: Учебно-методическое обеспечение практических занятий

Страницы работы

Фрагмент текста работы

6.7. теплоёмкость твёрдых тел (4 часа)

6.7.1. Учебная цель занятия

Показать студентам, что классическая теория теплоёмкости имеет ряд недостатков, которые в первую очередь проявляются в области низких и криогенных температур. Это относится ко всем веществам независимо от их агрегатного состояния. Научить студентов пользоваться квантовой теорией теплоёмкости для нахождения расчётных значений теплоёмкости при различных температурах. Показать, что лишь в области умеренных температур классическая теория теплоёмкости даёт те же результаты, что и квантовая теория.

6.7.2. Методические указания к проведению занятий

6.7.3. Рекомендуемая литература

[2] §2.1-2.8; 5.1-5.12  [6] стр. 271-277.


6.7.4. ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Пример 1. Найти среднюю кинетическую энергию  вращательного движения одной молекулы кислорода  при температуре , а также кинетическую энергию  вращательного движения всех молекул кислорода массой .

Дано:

Решение

;

;

.

 – ?

 – ?

Двухатомная молекула кислорода обладает двумя степенями свободы вращательного движения: . Поэтому в соответствии с законом Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы средняя энергия вращательного движения

                                 (1.1)

где  – постоянная Больцмана;  – термодинамическая температура газа.

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

                                (1.2)

Число всех молекул газа

,                                  (1.3)

где  – количество вещества;  – постоянная Авогадро.

Подставив выражение (1.3) в формулу (1.2), получаем

                                    (1.4)

Произведем вычисления

 Дж;

 Дж.

Ответ:  Дж,   Дж.


Пример 2. Найти концентрацию молекул одноатомного идеального газа в сосуде объемом 2,00 л при температуре 27 °С, если его внутренняя энергия равна 300 Дж.

Дано:

Решение

 = 2,00 л = ;

 = 27 °С,   Т = 300 К;

= 300 Дж.

 – ?

Концентрация молекул

,

где N – число молекул в объеме V.

Внутренняя энергия газа определяется как сумма кинетических энергий всех молекул газа. Для одноатомного идеального газа

откуда число молекул

.

Подставив полученное выражение для числа молекул газа в формулу для концентрации, получим

Ответ:


Пример 3. Вычислить удельную теплоемкость при постоянном объеме  и при постоянном давлении  неона  и водорода , принимая эти газы за идеальные.

Дано:

Решение

;

;

;

.

 – ?

 – ?

 – ?

 – ?

Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами:

;

,

где  – число степеней свободы молекулы газа;  – молярная масса.

Произведем вычисления:

– для неона

;

;

– для водорода

;

.

Ответ: ; ;

; .


Пример 4. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме  и при постоянном давлении  смеси неона  и водорода ,  если массовые доли неона и водорода составляют  и . Значения удельных теплоемкостей взять из предыдущего примера.

Дано:

Решение

;

;

;

;

 – ?

 – ?

Удельную теплоемкость  смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на  выразим двумя способами

              (4.1)

   (4.2)

где  – удельная теплоемкость неона;  – удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части выражений (4.1) и (4.2) и разделив обе части полученного равенства на  получим

,

откуда

,                   (4.3)

или

,                            (4.4)

где  и  – массовые доли,  и .

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении

.                           (4.5)

Произведем вычисления по формулам (4.4) и (4.5)

;

.

Ответ: , .


Пример 5. Раствор состоит из двух массовых частей воды и одной массовой части этилового спирта. Определить удельную теплоемкость раствора. Удельная теплоемкость воды равна , этилового спирта – .

Дано:

Решение

;

;

.

 – ?

Для нагревания воды, спирта и смеси на  необходимы следующие количества теплоты:

                 (5.1)

                 (5.2)

           (5.3)

где   – удельные теплоемкости.

Из закона сохранения энергии следует, что

.                                     (5.4)

Подставим формулы (5.1) – (5.3) в закон (5.4) и получим

,

откуда, с учетом ,

.

Ответ: .


Пример 6. В калориметр, содержащий 2,00 кг воды температурой  15 °С, положили  1,00 кг льда  температурой  минус 20 °С. Какая температура  установилась  в  калориметре?  Каким  оказалось  содержимое  калориметра  после  установления  в  нем  теплового  равновесия? Удельная теплоемкость льда – , воды – , удельная теплота плавления льда – . Теплоемкость калориметра не учитывать.

Дано:

Решение

 = 2,00 кг;

;

 = 1,00 кг;

;

;

;

.

 – ?

 – ?

 – ?

Будем искать температуру смеси , считая, что весь лед расплавится. Тогда, за счет охлаждения воды, находящейся в калориметре, лед должен нагреваться до температуры плавления льда  , затем расплавиться, а образовавшаяся при плавлении вода массой  должна нагреваться до температуры  .

Теплота нагревания льда

.

Теплота плавления льда

.

Теплота нагревания воды, образовавшейся изо льда,

.

Теплота, полученная при охлаждении воды массой ,

.

Составим уравнение теплового баланса

;

,

откуда температура смеси

.

Рассчитаем температуру смеси

.

Итак, получилось, что при плавлении всего льда температура в калориметре должна была бы понизиться до минус 19,7 °С. Однако минимальная температура воды не может быть меньше температуры плавления . Отсюда следует, что лед расплавится лишь частично, а температура в калориметре установится   = 0 °С.

Следовательно, за счет охлаждения воды в калориметре до  лед нагревается до   и часть его  расплавится.

Теплота нагревания льда

.

Теплота плавления льда массой

.

Теплота, полученная при охлаждении воды массой ,

.

Составим уравнение теплового баланса

;

,

откуда масса расплавленного льда

.

Рассчитаем массу расплавленного льда

.

Таким образом, в калориметре после установления теплового равновесия будет лед в количестве

и вода в количестве

Ответ:  = 0 °С;   = 2,252 кг;  = 0,748 кг.


Пример 7. Идеальный газ находится под поршнем в вертикально расположенном цилиндре объемом 10,0 л. Температура газа 900 К, площадь поршня , масса 10,0 кг. На сколько градусов увеличили температуру газа, если работа расширения оказалась равной 50,0 Дж? Поршень перемещается без трения. Атмосферное давление 101 кПа.

Дано:

Решение

 = 10,0 л = ;

 = 900 К;

 = 50,0 см2 = ;

 = 10,0 кг;

 = 50,0 Дж;

 Па.

– ?

Давление, под которым находится газ, складывается из давления атмосферы и давления, создаваемого за счет веса поршня,

.         (7.1)

Поскольку поршень перемещается без трения, то по мере расширения  газа  он  будет  перемещаться

вверх и давление будет оставаться неизменным, т. е. процесс будет изобарным.

Работа идеального газа в изобарном процессе

.                        (7.2)

Отношение объемов найдем из уравнения изобарного процесса (закон Гей-Люсака)

.                                           (7.3)

Подставив выражение (27.3) в формулу (27.2), получим

откуда с учетом соотношения (27.1)

.

Произведем вычисления

.

Ответ: = 37,3 К.


Пример 8. В цилиндре под поршнем находится водород  массой  при температуре  Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в  раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в  раз. Найти температуру в конце адиабатного расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Дано:

Решение

;

;

;

;

;

  .

 – ?

 – ?

 – ?

Графическое изображение процессов дано на рис. 8.1.

Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

,       (8.1)

где  – коэффициент Пуассона (показатель адиабаты)

.

Рис. 8.1

Для двухатомной молекулы водорода , поэтому .

Из соотношения (8.1) получаем следующее выражение для конечной температуры:

.

Работа  газа при адиабатном расширении может быть определена по формуле

.

Работа  газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

.

Произведем вычисления

.

Отрицательное значение работы  означает, что при сжатии работа над газом совершается внешними силами.

Ответ: ,  


Пример 9. Кислород  массой  занимает объем  и находится под давлением . Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема  а затем при постоянном объеме до давления  Найти изменение  внутренней энергии газа, совершенную им работу  и теплоту , переданную газу. Построить график процесса.

Дано:

Решение

;

  ;

;

;

;

;

;

.

 – ?

 – ?

 – ?

Графическое изображение процессов показано на рис. 9.1.

Рис. 9.1

Изменение внутренней энергии идеального газа не зависит от процессов

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
705 Kb
Скачали:
0