Работа в MathCad: Практическое пособие, страница 5

Определение

Минор  D элемента  а, полученный в результате вычеркивания  i-й строки и j-го столбца исходного определителя, умноженный на  (–1), называется алгебраическим дополнением этого элемента и обозначается  А.

Отметим, что если сумма индексов ( i + j ) – четное число, то А = D,  если же нечетное, то  А =  – D.

Пример

Даны миноры:   D= 6,   D= 5,   D= 1,   D= 3. Их алгебраическими дополнениями будут:  А= 6,   А= –5,   А= –1,   А= 3.

Теорема   (свойство 5)

Определитель матрицы  А  равен сумме произведений всех элементов строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Доказательство теоремы можно найти в [1].

Пример

Найдем величину определителя  , используя свойство 5.  Для этого разложим определитель по элементам второго столбца:

 =  аА+ аА+ аА = – аD + аD– аD.

.

Упражнение 7.  Найти определитель .

Решение

Разложим определитель по элементам первой строки

D = 1– 2 + 3 = 7 – 60 + 54 = 1.

Отметим, что использование свойства 5 в принципе позволяет вычислять определители любых порядков.

Упражнение 8.  Найти определитель    .

Решение

D =  =  = 2 =

          а- а

= 2 = 2 = 2(–1+

                              a₃   – a₁                      a₄ – 2a₁

+ 0 + 0+ 0) = –2 =

= –2 = –2(–5) = 10( –5 – 8) = –130.

 a₂ – a₃

В процессе решения указаны преобразования определителя: так, например, преобразование  а- аозначает, что из всех элементов строки  авычтены все элементы строки  а.

Определение

Линейной комбинацией строк  (столбцов)  называется  выражение  (α ₁ b₁+   + α ₂ b₂  + … + α _n  b_n), где  α ₁ , α  ₂  , …, α _n   Î R ;   a₁,  a₂ , …,   a_n    (b₁, b₂ …  b_n) - строки (столбцы) матрицы  А.

Следствия   

1. Определитель, в котором строка или столбец состоят из нулевых элементов, равен нулю.

2. Определитель, в котором две строки или два столбца состоят из одинаковых элементов, равен нулю.

3. Определитель, в котором строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), равен нулю.

Первое следствие является очевидным, для этого достаточно разложить определитель по строке (столбцу), состоящей из нулевых элементов.

Второе и третье следствия опираются на свойство 4 и их доказательство представляется очевидным.

2.3.6  Упражнения для самостоятельной работы

Вычислить значения определителей четвертого порядка.

1.   .                    Ответ:   121.

2.   .                   Ответ:  -5.

3.   .                 Ответ: -188.

4.   .                Ответ: -185.

3.  Основы работы в MathCAD

3.1.  Что такое MathCAD?

MathCAD относится к языкам интерпретаторам, таким как MatLab, Mathematica, Lisp и т.д., в отличие от языков компиляторов, к которым относится Pascal, C++, Basic, Fortran и т.д.

Для запуска программы, написанной на языке MathCAD и сохраненной в фале с расширением .MCD, необходимо использовать среду MathCAD.

MathCAD является средой для работы с формулами, числами, текстами и графикой.

MathCAD позволяет записывать на экране компьютера формулы в их привычном виде. Например, так выглядит формула для расчета корня квадратного уравнения, в программном модуле на языке Basic (Рис. 3.1)

Рис. 3.1. Вид формулы на языке Basic

В MathCAD эта же формула выглядит так (Рис. 3.2)

.

Рис. 3.2. Вид формулы в MathCAD

Объединяя на одном листе пояснительный текст, математические выкладки и результаты расчета в виде текстовой и графической информации MathCAD позволяет получить законченный правильно оформленный документ.

3.2.  Работа в MathCAD.

3.2.1  Знак равенства в функциях и переменных MathCAD

Знак равенства в MathCAD используется в различных формах написания и значения. Ниже рассмотрены некоторые варианты.

1. Присвоение значений переменным или функциям.

Синтаксис.

Варианты ввода знака ":="

·  нажать одновременно клавиши "Shift" и ":";