Работа в MathCad: Практическое пособие, страница 4

1.  .                   Ответ:   17.

2.  .                Ответ:    0.

3.  .              Ответ:   8.           

4.  .           Ответ:   3.

2.3.4   Основные свойства определителей

Определение

Если в матрице А заменить строки на столбцы, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается  А.

Пример

Пусть  А = .  Тогда  А= .

Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.

Проверим это на конкретном примере.

Пример

Пусть  А = .         Тогда  А= .        DА = 2 × 5 - 3 × 4 = -2,

DА= 5 × 2 - 4 × 3 = -2 = DА, что и требовалось показать.

Свойство 2.  Если в определителе поменять местами две строки (два столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

Пример            

Пусть  А = . Тогда  А= .      DА = 2 × 5 - 3 × 4 = -2,

DА= 5 × 2 - 4 × 3 = -2 = DА, что и требовалось показать.

Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) умножить на

l ¹ 0, то и весь определитель также умножится на l.

Свойство 3¢(следствие свойства 3).   Множитель, общий для всех элементов строки (столбца), можно вынести за знак определителя

D =  = l.

Пример  

Вычислить определитель:

D =  = 121(-3) - 2×132 = - 363 - 264 = -627. С другой стороны, воспользовавшись свойством  3¢, имеем

D =  =  = 11 = 11(11(-3) - 2×12) =

= 11(-33 - 24) = 11(-57) = -627.

Свойство 4.   Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится

D =  = .

В приведенной иллюстрации к элементам второго столбца добавлены элементы первого столбца, умноженные на произвольное l. На практике произошло преобразование второго столбца. Подобные преобразования определителей можно записывать следующим образом:

а) первую, вторую, третью строки условно обозначим a, a, a;

б) первый, второй, третий столбцы обозначим как в, в, в.

Тогда проведенное преобразование определителя в этих терминах можно записать так:  в® в+ l в.

Упражнение 6

Вычислить определитель     D = .

Решение

1. Вынесем общий множитель для всех элементов первого столбца за знак определителя

D =  = 2.

2.  Вычтем из элементов второй строки элементы первой строки (преобразование a–  a)

D = 2 = 2.

                                                                                 a– a      

3.  Прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умножив их на 2 (преобразование a+ 2 a),

D = 2 = 2.

                                                                                a + 2 a

 4. Воспользовавшись правилом Саррюса, вычислим последний определитель непосредственно

D = 2 = 2((4×0×0 + 2×0×10 + 1×1×7) - (10×0×1 + 7×0×4 + 0×1×2)) = 14.

Замечание

 Появление в результате проведенных преобразований элементов, равных нулю, в значительной степени упростило процесс непосредственных вычислений. Так, в приведенном примере из шести слагаемых не равным нулю оказалось только одно.

Свойства 3 и 4 являются одними из наиболе е употребительных при вычислении определителей. Следующее же свойство ввиду своей важности заслуживает отдельного рассмотрения.

2.3.5  Разложение определителя по элементам строки или столбца  (свойство 5)

Определение

          В матрице A n-го порядка вычеркнем  i-ю строку и j-й столбец. Сдвинем оставшиеся  элементы, не нарушая порядка. Определитель полученной матрицы порядка (n - 1) называется минором элемента  a, находящегося на пересечении i-й строки и  j-го столбца, и обозначается  D.

Пример

Найдем миноры  D и   D  определителя .

Элементы   а = 7, а   а = 2.

Вычеркнем вторую строку и третий столбец в исходном определителе, в результате получим минор D:D==6 – 16=-10.

Вычеркнем третью строку и второй столбец в исходном определителе, получим минор D:   D =  = 21 + 4 = 25.

Пример

Найти все миноры для определителя второго порядка  .

Легко увидеть, что в  определителе второго порядка минорами являются сами элементы исходного определителя, которые получаются при вычеркивании соответствующих строк и столбцов

D = 6,    D = 5,    D = 1,   D = 3.