1. . Ответ:
17.
2. . Ответ: 0.
3. . Ответ:
8.
4. . Ответ:
3.
Определение
Если в матрице А заменить строки на столбцы, то полученная
матрица называется транспонированной и обозначается А.
Пример
Пусть А = . Тогда А
=
.
Свойство 1. При транспонировании матрицы величина определителя не меняется.
Проверим это на конкретном примере.
Пример
Пусть А = . Тогда А
=
. DА =
2 × 5 - 3 ×
4 = -2,
DА= 5 ×
2 - 4 × 3 =
-2 = DА, что и
требовалось показать.
Свойство 2. Если в определителе поменять местами две строки (два столбца), то определитель изменит знак на противоположный.
Пример
Пусть А = . Тогда А
=
. DА =
2 × 5 - 3 × 4 =
-2,
DА= 5 ×
2 - 4
× 3 =
-2 = DА, что и
требовалось показать.
Свойство 3. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) умножить на
l ¹ 0, то и весь определитель также умножится на l.
Свойство 3¢(следствие свойства 3). Множитель, общий для всех элементов строки (столбца), можно вынести за знак определителя
D = = l
.
Пример
Вычислить определитель:
D = = 121(-3) - 2×132
= - 363 - 264 = -627.
С другой стороны, воспользовавшись свойством 3¢,
имеем
D = =
=
11
=
11(11(-3) - 2×12)
=
= 11(-33 - 24) = 11(-57) = -627.
Свойство 4. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то величина определителя не изменится
D = =
.
В приведенной иллюстрации к элементам второго столбца добавлены элементы первого столбца, умноженные на произвольное l. На практике произошло преобразование второго столбца. Подобные преобразования определителей можно записывать следующим образом:
а) первую, вторую, третью строки условно обозначим a, a
, a
;
б) первый, второй, третий столбцы обозначим как в, в
, в
.
Тогда проведенное преобразование определителя в этих терминах
можно записать так: в® в
+ l в
.
Упражнение 6
Вычислить определитель D
= .
Решение
1. Вынесем общий множитель для всех элементов первого столбца за знак определителя
D = = 2
.
2. Вычтем из элементов второй строки элементы первой строки
(преобразование a– a
)
D = 2 = 2
.
a– a
3. Прибавим к элементам третьей строки элементы первой
строки, умножив их на 2 (преобразование a+ 2 a
),
D = 2 = 2
.
a + 2 a
4. Воспользовавшись правилом Саррюса, вычислим последний определитель непосредственно
D = 2 = 2((4×0×0 + 2×0×10 + 1×1×7) -
(10×0×1
+ 7×0×4
+ 0×1×2))
= 14.
Замечание
Появление в результате проведенных преобразований элементов, равных нулю, в значительной степени упростило процесс непосредственных вычислений. Так, в приведенном примере из шести слагаемых не равным нулю оказалось только одно.
Свойства 3 и 4 являются одними из наиболе е употребительных при вычислении определителей. Следующее же свойство ввиду своей важности заслуживает отдельного рассмотрения.
Определение
В матрице A n-го порядка вычеркнем i-ю
строку и j-й столбец. Сдвинем оставшиеся элементы, не нарушая порядка.
Определитель полученной матрицы порядка (n - 1) называется минором элемента a, находящегося на пересечении i-й
строки и j-го столбца, и обозначается D
.
Пример
Найдем миноры D и D
определителя
.
Элементы а = 7,
а а
= 2.
Вычеркнем вторую строку и третий столбец в исходном определителе,
в результате получим минор D:D
=
=6 – 16=-10.
Вычеркнем третью строку и второй столбец в исходном определителе,
получим минор D:
D
=
= 21 + 4 = 25.
Пример
Найти все миноры для определителя второго порядка .
Легко увидеть, что в определителе второго порядка минорами являются сами элементы исходного определителя, которые получаются при вычеркивании соответствующих строк и столбцов
D = 6, D
= 5, D
= 1, D
= 3.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.