Математические и логические основы построения ЦВМ (Глава 1 учебного пособия "Основы электронной вычислительной техники и программирования")

Обобщением дискретных логик является непре­рывная (бесконечно­значная) логика [1,2]. Определяющими опера­циями в непрерывной логике являются обобщенные дизъюнкция, конъюнкция (аналоговые логические операции амплитудного селектирования) и отрицание:

,                     (1.34)

,                     (1.35)

,                                                                         (1.36)

которые в двухзначной (булевой) логике образуют полную систе­му функций [3]. Условие (1.36) накладывает требование симметричности множества действительных чисел x относительно его цен­тра (точка 0,5×x₀).

Выражения (1.34) и (1.35) являются решением квадратичного урав­нения [4]:

.                        (1.37)

Действительно, корни уравнения (1.37) определяются выражением:

    ,             (1.38)

 где i= 1,2.              

Приa = 1 уравнение (1.38) приводится к выражениям (1.34) и (1.35). При этом  и . Таким образом, определяющие операции (1.34) – (1.36) могут быть выражены через модуль–функ­цию  [5] и операцию алгебраического сложения.

Рассмотрим подкласс линейно–изломных функций, порождаемых классами двухзначных буле­вых функций одной x и двух x₁, x₂ переменных (булевый под­класс аналоговых функций), и анализих свойств.

В теоретическом плане это позволяет выделить из всего многообразия линейно–изломных функций подкласс булевых анало­говых функций, т.е. позволяет осуществить идентификацию ана­логовых линейно–изломных функций по признаку их соответствия двухзначным булевым функциям.

В практическом плане полученные результаты позволяют осуществлять формальный синтез аналоговых функциональных преобразователей, воспроизводящих подкласс аналоговых булевых функций по известным дискретным схемам путем замены в них двоичных дизъюнкторов и конъюнкторов соответственно на максимизирующие и минимизирующие амплитудные селекторы.

Функциональные преобразователи, воспроизводящие типовые [6] и нетиповые линейно–изломные функции, находят широкое при­менение в аналоговой вычислительной и информационно–измерительной технике, в системах автоматического управления и ре­гулирования.

Число различных булевых функций, зависящих от  n аргумен­тов   конечно и равно  [3].

При  n = 0  в аналоговой области имеем две независимые от аргумента x функции ,  и одну линейную функцию  (рис.1.19).

Рис.1.19.

При n = 1 имеем четыре булевых функции

     ,

     ,

     ,

     .

В таблице 1.13 приведены числовые значения этих функций при n = 1.

Таблица 1.13

В аналоговой области функции y₀, y₁, y₂ и y₃ соответственно имеют вид

    ,       (1.39)

          ,                                                                                                   (1.40)

          ,                                                                                                 (1.41)

          .       (1.42)

При этом  и , т.е. функции  связаны зависимостью

,                                           (1.43)

где ,   .

В дальнейшем изложении аналоговые функции при п = 0,1,2, ... будем называть функциями нулевого, первого, второго и т.д. порядка.

На рис.1.20 представлены графики функций  и  при n = 1. Здесь точками изображены числовые значения, соот­ветствующие при п = 1 булевым функциям, заданным таблицей 1.13. Функции , ,  зависят от константы . В частном случае при  функции ,  вырождаются в инвертирующую и неинвертирующую модуль–функции, а . При  функции  и  вырождаются в функции однополупериодного выпрямления.

Рис.1.20.

Таким образом, булевы аналоговые функции нулевого порядка не имеют точек излома. Согласно (1.39) – (1.42), функции первого порядка имеют не более одной точки излома (функции  и ). При этом при n = 1 четыре дискретные булевы функции порождают семь семейств линейно–изломных функций: семейство инвертирующих модуль–функции  со смещением точки излома по прямой , семейство прямых  с отрицательным наклоном и вертикальным смещением при , семейство прямых ,  с положительным наклоном и вертикальным смещением, семейство неинвертирующих модуль–функций  со смещением точки излома по прямой , семейство функций формирования зоны отсечки сверху  и снизу  с регулируемыми уровнями ширины и высоты зоны отсечки и семейство горизонтальных прямых .

Перейдем к рассмотрению аналоговых линейно–изломных функций второго порядка (n = 2). Здесь порождающим является класс дискретных булевых функций  двух аргументов , , представленный в табл.1.14.

                Таблица 1.14

Заданная булева функция в дискретной области может быть представлена в различных эквивалентных формах. Например, для функции Вебба (стрелка Пирса) можем записать

     ,

     .

В аналоговой области эти выражения соответственно имеют вид

,   (1.44)

.  (1.45)

Выражения (1.44) и (1.45) определяют различные семейства линейно–изломных функций.

Неоднозначность представления эквивалентных форм булевых функций