1. Метод
линейной интерполяции (метод хорд). Пусть дано уравнение , где функция
непрерывна
на [a;b] и f(a)f(b)<0. Для определенности положим f(a)>0 и f(b)<0.
Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [a;b] пополам (как это делается в
методе половинного деления), более естественно поделить его в отношении
f(a)/f(b). Это дает приближенное значение корня x1=b+h1,
где
Далее, применив этот прием к тому из отрезков ([a;x1] или [x1;b]), на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x2 и т.д.
Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой y = f(x) хордой, проходящей через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) ( рис. 2.1).
Рис. 2.1. Геометрическая интерпретация метода хорд
В самом деле,
уравнение хорды AB есть .
Отсюда, полагая x=x1 и y=0,
получаем .
Для сходимости метода хорд необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
а) неподвижен тот конец хорды, для которого знак функции f(x) совпадает со знаком ее второй производной f”(x);
б) последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня ξ, где функция f(x) имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f”(x).
Расчетная формула метода в случае неподвижной точки a:
.
Если отрезок [a;b] достаточно мал, то погрешность метода определяется так:
.
Таким образом, в
этом случае, как только будет выполняться условие , где ε
– заданная предельная абсолютная погрешность, гарантировано, что
.
2.
Метод Ньютона (метод касательных). Пусть –
корень уравнения
– отделен на отрезке [a, b],
причем
и
непрерывны
и сохраняют определенные знаки при
.
Положим, где
считаем
малой величиной. Отсюда, применив формулу Тейлора, получим
0 = .
Следовательно,
.
Внеся эту поправку в формулу уточнения корня, можно найти следующее (по порядку) приближение корня:
( n = 0, 1, 2, . . .).
Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой y = f(x) касательной, проведённой в некоторой точке кривой (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация метода Ньютона
Теорема. Если , причем
и
отличны от нуля и сохраняют определенные
знаки при
, то, исходя из начального приближения
, удовлетворяющего неравенству
, можно вычислить методом Ньютона
единственный корень уравнения
с любой степенью точности.
Применяя метод
Ньютона, следует руководствоваться следующим правилом: в качестве исходной
точки выбирается тот конец интервала
, которому отвечает ордината того же знака,
что и знак
.
Условием завершения
итерационного процесса является выполнение неравенства ,
где ε – заданная предельная абсолютная погрешность.
3.
Модифицированный метод Ньютона. Если производная f’(x) мало изменяется на
отрезке [a, b], то в расчетной формуле метода касательных можно положить ≈
.
Отсюда для корня уравнения f(x) = 0 получаем
последовательные приближения
( n = 0, 1, 2, . . .).
Геометрически этот
способ означает, что заменяются касательные в точках Bn[xn,
f(xn)] прямыми, параллельными касательной к кривой y = f(x), в её
фиксированной точке B0[x0, f(x0)] (рис. 2.3).
Эта формула весьма полезна, если сложна.
Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация модифицированного
метода Ньютона
4. Метод
секущих. В алгоритме Ньютона требуется вычислить две функции для каждой
итерации – и
. Метод
секущих требует только одного вычисления функции
при
одной итерации, и простой корень имеет порядок сходимости R
1,618033989. Этот метод почти так же быстр,
как и метод Ньютона, который имеет порядок сходимости R=2.
В методе секущих
используется такая же формула, как и в методе хорд, но существуют различные
логические решения относительно способа поиска каждого последующего члена.
Необходимо около точки иметь две начальные точки
и
, как
показано на рис. 2.4. Определим
как абсциссу точки
пересечения линии, проходящей через эти две точки
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.