Свободное падение тя­желой материальной точки

Придадим переменной tнекоторое приращение и рассмотрим момент  , когда точка будет в поло­жении М₁ Приращение ММ₁  пути за промежуток вре­мени обозначим через . Подставляя вместо t, получим для нового значения пути выражение

откуда

Разделив на , мы получим среднюю  скорость  падения точки на участке ММ₁

Как видим, эта скорость меняется вместе с изменением At, тем лучше ххарактеризуя состояние падающей точки в момент t, чем мень­ше промежуток , протекший  после этого момента.

Скоростью v точки в момент времени t называют предел, к которому стремится средняя скорость v_cp за промежуток , когда  стремится к 0.

В нашем случае, очевидно,

Аналогично вычисляется скорость и и в общем случае прямоли­нейного движения точки. Положение точки определяется ее расстоя­нием s, отсчитываемым от некоторой начальной точки О; это рас­стояние и называется пройденным путем. Время tотсчиты­вается от некоторого начального момента, причем не обязательно, чтобы в этот момент точка находилась в О. Движение считается, вполне заданным, когда известно уравнение движения: , из которого положение точки определяется для любого момента вре­мени; в рассмотренном примере такую роль играло уравнение

Для определения скорости vв данный момент tпришлось бы, как и выше, придать tприращение ; этому отвечает увеличение пути  на . Отношение

выразит среднюю скорость  за промежуток . Истинная же скорость vв момент tполучится отсюда предельным переходом:

Мы рассмотрим ниже другую важную задачу, приводящую к по­добной же предельной операции.

                              рис.

Возьмем на кривой (К) (рис.),  кроме точки  М, еще точку М₁ и проведем секущую ММ₁. Когда точка M₁будет перемещаться вдоль по кривой, эта секущая будет вращаться вокруг точки М.

Касательной к кривой (К) в точке М называется предельное  положение МТ секущей ММ₁ когда точка М₁  вдоль по кривой стремится к совпадению с М. (Смысл этого определения со­стоит в том, что угол становится сколь угодно малым, лишь только достаточно мала хорда .

Применим для примера это определение к параболе  в любой ее точке Mix, у). Так как касательная проходит через эту точку, то для уточнения ее положения достаточно знать еще ее угловой ко­эффициент.

                                   Рис.

Мы поставим себе задачей найти угловой коэффициент  касательной к точке М.

Придав абсциссе приращение, от точки М кривой перейдем к точке с абсциссой и ординатой

(рис. а). Угловой коэффициент  секущей ММ₁  определится из прямоугольного MNМ₁. В нем катет MNравен приращению абсциссы , а катет NМ₁, очевидно, есть соответствующее прира­щение ординаты

так что

Для получения углового коэффициента касательной, как легко по­нять, нужно перейти здесь к пределу при . Мы приходим, таким образом, к результату:

В случае любой кривой, с уравнением

угловой коэффициент касательной устанавливается подобным об­разом. Приращению абсциссы отвечает приращение ординаты, и отношение

выражает угловой коэффициент секущей, . Угловой же коэф­фициент касательной получается отсюда путём перехода к пределу при :

Сопоставляя операции, которые мы осуществляли при решении рассмотренных выше фундаменталь­ных задач, легко усмотреть, что в обоих случаях - если отвлечься от различия в истолковании переменных - по существу делалось одно и то же: приращение функции делилось на приращение незави­симой переменной и затем вычислялся предел их отношения. Таким путем мы и приходим к основному понятию дифференциального исчи­сления -  к понятию  производной.

Пусть функция  определена в промежутке X. Исходя из некоторого значения   независимой переменной, придадим ему приращение , не выводящее его из промежутка X, так что и новое значение принадлежит этому промежутку. Тогда зна­чение   функции заменится новым значением т. е. получит приращение

Определение. Предел отношения приращения функции  к при­ращению независимой переменной , при стремлении , т. е.

и называется производной функции no независимой пере­менной х, при данном ее значении (или в данной