Введение в математический анализ. Числовая последовательность

Лекция 6

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность. 

  Определение. Если каждому натуральному числу  поставлено в соответствие число  то говорят, что задана последовательность

 Общий элемент последовательности является функцией от .

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Определение. Последовательность  называется ограниченной, если существует такое число , что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

Определение. Последовательность   называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

Определение.  Постоянное  число а называется пределом последовательности , если для любого положительного  существует такой номер N, что для всех   удовлетворяют неравенству:

 Тот факт, что, а является пределом последовательности , записывают так:

 (lira есть сокращение латинского слова limes, означающего «предел»). Говорят также, что переменная стремится к а, и пишут

То же определение коротко может быть сформулировано так:

Число а есть предел последовательности , если ее значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места.

Неравенство , где произвольно, и есть точная запись утвер­ждения, что от а «отличается сколь угодно мало», а номер N как раз и указывает то «место, начиная с которого»  это обстоятельство осуществляется.

Важно дать себе отчет в том, что номер N, вообще говоря, не может быть указан раз навсегда: он зависит от выбора числа . Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо N будем писать N_L.

Если изобразить числа a, и значения нашей варианты точ­ками на числовой оси, то получится наглядное геометри­ческое истолкование предела варианты.  Какой  бы малый отрезок

(длины 2) с центром в точке а ни взять, все точки , начиная с не­которой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек). Точка, изображающая предел а, является как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения варианты.

Случай, когда последовательность стре­мится к нулю: , представляет особый интерес.

Определение. Последовательности , имеющая своим пределом нуль, называется  бесконечно малой  величиной,  или просто бесконечно малой.

Если в определении предела  последовательности положить  а = 0, то неравенство примет вид

Таким образом, данное выше определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»:

Последовательность называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остается  меньше  сколь угодно малого наперед заданного числа , начиная с некоторого места.

Если вернуться к общему случаю Последовательности , имеющей предел а, то разность между переменной и ее пределом, очевидно, будет бесконечно малой:

Обратно, если , есть бесконечно малая, то . Это приводит нас к следующему утверждению:

Для того чтобы последовательность имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бесконечно малой.

В связи с этим можно было бы дать и для понятия «предел» другое определение:

Постоянное число а называется пределом последовательности  , если разность между ними есть бесконечно малая величина.

Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных выше определений. Иначе получился бы порочный круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а бесконечно малая - через предел!

Итак, если варианта , то она может быть представлена в виде

где  есть бесконечно малая, и обратно, если