Лекция 8
Определение непрерывности функции в точке.
С понятием предела функции тесно связано другое важное понятие математического анализа - понятие непрерывности функции.
Рассмотрим
функцию , определенную в некоторой области,
пусть точка х0 принадлежит области определения функции, так
что в этой точке функция имеет определенное значение
.
Когда устанавливалось понятие о пределе функции при стремлении х к х0
неоднократно
подчеркивалось, что значения х0 переменная х не принимает;
это значение могло даже не принадлежать области определения функции, а если и
принадлежало, то значение при образовании упомянутого предела не
учитывалось.
Однако особую важность имеет именно случай, когда
Определение. Функция непрерывна при значении
(или в точке х = х0), если
выполняется
1. Существует
2. Имеет место предел
если же оно нарушено одно из этих условий, то говорят, что при этом значении (или в этой точке) функция имеет разрыв.
В
случае непрерывности функции в точке х0 (и, очевидно, только в
этом случае), при вычислении предела функции
при х
становится безразличным, будет ли х в
своем стремлении к х0 принимать, в частности, и значение х0,
или нет.
Определение
непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от
значения х0 к другому значению х можно себе представить
так, что значению х0 придано приращение . Новое значение функции
разнится от старого
на приращение
Для
того чтобы функция была непрерывна в точке х0,
необходимо и достаточно, чтобы ее приращение
в этой точке стремилось к 0 вместе с
приращением
независимой переменной. Иными словами: непрерывная
функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента
отвечает бесконечно малое же приращение функции.
Возвращаясь
к основному определению, раскроем его содержание «на языке ». Смысл
непрерывности функции
в точке х0 сводится к следующему: каково
бы ни было число
, для него найдется такое число
, что
неравенство
влечет за собой
Последнее
неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки х0.
Обычно мы будем в дальнейшем рассматривать функции, определенные в некотором промежутке.
Определение. Функция непрерывна в промежутке если она непрерывна в каждой точке промежутка в отдельности.
Прежде чем перейти к примерам непрерывных функций, установим следующее простое предложение, которое позволит легко расширить их число.
Теорема. Если две функции и
определены в одном и том же промемсутке
и обе непрерывны в точке х0, то в той же точке будут непрерывны и
функции
последняя
функция будут непрерывна при условии, что .
Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы.
Остановимся
для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций и g(x) в точке х0
равносильно наличию равенств
Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:
а
это равенство и означает, что функция непрерывна в точке х0.
Установим теперь понятие об односторонней непрерывности или одностороннем разрыве функции в данной точке.
Определение. Говорят, что функция
непрерывна в точке х0 справа
(слева),
если выполняется предельное соотношение:
Если
же то или другое из этих соотношений не осуществляется, то функция имеет в точке х0 разрыв,
соответственно, справа или слева.
По
отношению к левому (правому) концу промежутка, в котором функция
определена, может идти речь, очевидно, только о непрерывности или разрыве
справа (слева). Если же есть внутренняя точка промежутка, то для
непрерывности функции необходимо и достаточно, чтобы имели место сразу оба
равенства.
Иными
словами, непрерывность функции в точке равносильна ее непрерывности в
этой точке одновременно справа и слева.
Это условие непрерывности функции в точке, которое вытекает из определения.
Остановимся подробнее на вопросе о непрерывности и разрыве
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.