Уравнение плоскости. Уравнения в отрезках. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой

Лекция 3

Уравнение плоскости

Поверхности. Урав­нение первой степени, или линейное уравнение, связы­вающее координаты точки в пространстве, имеет вид

причем предполагается, что коэффициенты не равны нулю одновременно, т. е. .

Известно, что через три точки не лежащих на одной прямой проходит единственная плоскость. Возьмем произвольную точку на этой плоскости и запишем три вектора ,  ,   

Плоскость имеет единственную нормаль . Из условия ортогональности получаем систему

Мы получили однородную систему линейных алгебраических уравнений. Условие существования нетривиального решения – равенство нулю главного определителя системы.

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящее через три точки.

Пример. Составить уравнение плоскости проходящей через три точки ,

Раскрывая определитель по первой строке, получаем уравнение

И окончательно        

Составим уравнение плоскости с заданной нормалью  проходящей через заданную точку . Такая плоскость будет единственной. Возьмем произвольную точку . Чтобы эта точка принадлежала нашей плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вектор  был ортогонален нормали  .

 или        

Полученное уравнение – уравнение плоскости, проходящее через точку с заданной нормалью.

Теорема 1. В декартовой системе коорди­нат в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением.

Обратно, каждое линейное урав­нение  в  декартовой системе координат опре­деляет плоскость.

Доказательство: запишем уравнение плоскости, проходящее через точку с заданной нормалью.

Если обозначить  , то приходим к уравнению

Которое является уравнением плоскости в общем виде.

Наоборот, если в уравнение плоскости

Вместо  подставим , то приходим к уравнению плоскости, проходящее через точку с заданной нормалью. Теорема доказана.

Уравнения в отрезках

Плоскость с уравнением  не проходит через начало коор­динат в том и только в том случае, когда свободный член ее уравнения  не равен нулю. В этом мы убе­ждаемся сразу, подставив координаты  в урав­нение плоскости.

Уравнение плоскости, не проходящей через начало координат можно представить в виде

Легко видеть, что координаты точек пересечения плоскости с осями коор­динат будут,  . Таким образом , , по абсолют­ной величине равны длинам от­резков, отсекаемых плоскостью на осях координат

Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрез­ках. Оно удобно, если тре­буется построить плоскость по ее уравнению

Угол между плоскостями

Пусть задано две плоскости

 и

Найдем угол между плоскостями. Известно, что величина двугранного угла между плоскостями определяется углом между нормалями этих плоскостей. Нормаль к первой плоскости будет   , ко второй плоскости - . Угол между векторами определяется по формуле

И окончательно

Пример. Найти угол между плоскостями  и

Решение. Угол между векторами определяется по формуле

Нормаль к первой плоскости будет   , ко второй плоскости - . Тогда

И окончательно угол между плоскостями  

Расстояние от точки до плоскости.

Найдем расстояние от точки  до плоскости . Возьмем произвольную точку на плоскости . Составим вектор  . Спроектировав этот вектор на нормаль, мы и получим расстояние от точки  до плоскости. нормаль к нашей плоскости будет .

Найдем проекцию точки на нормаль

Так как точка  принадлежит плоскости, то при подстановке координат точки в уравнение плоскости оно обратится в тождество 

Из этого тождества  . Подставив в проекцию, получаем

Так как расстояние величина положительная, то

Знак   не имеет геометрического смысла, так как он  зависит  от того, в какую сторону направлен вектор . Однако можно за­метить, что знак этот совпадает со знаком . Если мы, смещаясь из точки в точку, не пересекли плоскость, то   не изменил знака;  изменит знак, если мы передвинем конец вектора через плоскость. От­ сюда следует предложение, уже не зависящее от напра­вления вектора .

Для всех точек, лежащих по одну и ту же сторону от плоскости, знак  один и тот же. Знак этого выражения различен для точек, лежащих по разные стороны от плоскости.

Пример. Найти расстояние от точки  до плоскости

Решение. Используя полученную формулу, находим расстояние от точки  до плоскости

Уравнение прямой.

Составим уравнение прямой в декартовой системе координат. Если взять точку на прямой  и вектор параллельный этой прямой, то прямая будет определена однозначно.  Возьмем произвольную точку  в пространстве и запишем вектор

Для того чтобы мочка  лежала на прямой необходимо и достаточно, чтобы вектора  и  были коллинеарными.  Известно, что два вектора коллинеарными необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны

Мы получили каноническое уравнение прямой.

Известно, что через две точки проходит единственная прямая. Возьмем две точки  и  и запишем вектор

Полученный вектор для прямой будет направляющим вектором, тогда уравнение прямой, запишется

Полученное  уравнение прямой называется уравнением прямой проходящей через две точки.

Прямая является пересечением двух плоскостей.

 

Сведем это уравнение прямой к каноническому виду. Для этого разрешим систему относительно  и , не ограничивая общности считая, что

Решим систему методом Крамера

    

Преобразуем полученное решение

;

Фиксируя , получаем точку принадлежащую прямой

; ;

Возьмем разность

; 

И окончательно, приходим к уравнению прямой к каноническому виду

Выпишем направляющий вектор полученной прямой

Уравнение прямой можно записать в параметрическом виде.  Если взять уравнение  и выразить , ,  через параметр , то получим параметрическое уравнение прямой.

При решении задач иногда удобно пользоваться параметрическим уравнением прямой.

Пример.  Найти точку пересечения плоскости

и прямой  .

Решение. Точка пересечения плоскости и прямой является решением системы

 

  .

Запишем уравнение прямой в параметрическом виде

; ;

Тогда наша система перепишется в виде

 

Подставляя , ,  в уравнение плоскости, получаем

Приведем подобные

Тогда ; ;

И мы получили точку пересечения плоскости и прямой .